复旦大学《数学分析》考研配套名校考研真题库
第一模块 名校考研真题
第3篇 级 数
第1部分 数项级数和反常积分
第9章 数项级数
一、判断题
1．若收敛，则
【答案】错查看答案
存在．[重庆大学2003研]
【解析】举反例：散．
，虽然，但是发
2．若收敛，
【答案】错查看答案
，则收敛．[南京师范大学研]
【解析】举反例：满足条件，而且很容易知道
但是二、解答题
发散，所以
发散．
1．求级数解：
的和．[深圳大学2006研、浙江师范大学2006研]
2．讨论正项级数的敛散性．[武汉理工大学研]
解：由于
散；当a＝1时，由于
，所以当a＞1时收敛，当0＜a＜1时发
，故发散．
3．证明：收敛．[东南大学研]
证明：因为，所以
又因为
而
收敛，故
收敛．
4．讨论：证明：因为而
，p∈R的敛散性．[上海交通大学研] 为增数列，而
为减数列，所以
．从
所以
Weierstrass判别法知
．于是当p＞0时，由积分判别法知
收敛，故由
收敛：当p＝0时，因为
当p＜0时，
发散．
发散，所以发散：
5．设级数绝对收敛，证明：级数收敛．[上海理工大学研]
证明：因为有
绝对收敛，所以．从而存在N＞0，使得当n＞N时，
，则有
，故由比较判别法知级数收敛．
6．求．[中山大学2007研]
解：由于，所以绝对收敛．
7．设
连理工大学研]
，且有，证明：收敛．[大
证明：因为，所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有
，
即
取ε充分小，使得
，即
．因为
，所以
单调递减，且
现在证明．因为，即则
．
所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有＜c-ε＜r，有
．对任意的0
所以存在N，当n＞N时，
，则
因此
，
由两边夹法则可得
．故由交错级数的Leibniz判别法知
收敛．
8．说明下面级数是条件收敛或绝对收敛学研]
[复旦大
解：数列是n的单调递减函数．且
由莱布尼兹判别法，可知收敛．
所以
故当2x＞1，即时收敛，即
绝对收敛；
当2x≤1，即时，发散，即
条件收敛．
9．证明：若大学研]
绝对收敛，则亦必绝对收敛．[华东师范
证明：绝对收敛，从而收敛，记
则
由比较判别法知敛，所以
敛散性相同，而
收
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