多面体与棱柱
1.四棱柱有几条侧棱,几个顶点 A.四条侧棱、四个顶点 B.八条侧棱、四个顶点 C.四条侧棱、八个顶点 D.六条侧棱、八个顶点
2.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中,棱柱的个数是
( ) ( )
A.0个 C.2个
B.1个 D.3个
3.如图所示是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为
( )
A.6
B.7
C.8
D.9
4.如图是一个正方体的表面展开图,若图中“努”在正方体的后面,那么这个正方体的前面是
( )
A.定
B.有
C.收
D.获
5.用一个平面去截一个正方体,截面边数最多是 .
6.现有两个完全相同的长方体,它们的长、宽、高分别是5 cm,4 cm,3 cm,现将它们组合成一个新的长方体,这个新长方体的体对角线的长是多少?
能力提升
1.如图正方体的棱长为1,在面对角线A1B上存在一点P使得|AP|+|D1P|取得最小值,则最小值为
( )
√2+√6A.2 B. C.2+√2 D.√2+√2 2
2.设M是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点M到
平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离都相等,则符合条件的点M A.仅有一个
B.有两个 D.不存在
( )
C.有无限多个
3.如图所示,正方体棱长为3 cm,在每个面正中央有个入口为正方形的孔道通到对面,孔的入口正方形边长为1 cm,孔的各棱平行于正方体各棱.则所得几何体的总表面积为
( )
A.54 cm2
B.76 cm2
C.72 cm2
D.84 cm2
4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=√2,BB1=2,∠ABC=90°,E,F分别为AA1,C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为
3√2√2A. B.√2 C. D.2√2 22
5.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的四面体)的展开图的是
( )
( )
6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,已知平面α⊥AC1,则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是 A.截面形状可能为正三角形 B.截面形状可能为正方形 C.截面形状可能为正六边形 D.截面面积最大值为3√3
7.侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱. 侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱. 底面是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体. 底面是矩形的直平行六面体称为长方体. 棱长都相等的长方体称为正方体. 请根据上述定义,回答下面的问题: (1)直四棱柱 是长方体.
(2)正四棱柱 是正方体.(填“一定”“不一定”或“一定不”)
8.正方体的棱长为a,且正方体各面的中心是一个几何体的顶点,这个几何体的棱长为 .
9.已知正六棱柱的一条最长的体对角线长是13,侧面积为180,求正六棱柱的全面积.
10.直四棱柱的底面是矩形,且底面对角线的夹角为60°,对角面的面积为S,求此直四棱柱的侧面积.
( )
答案
1.四棱柱有几条侧棱,几个顶点 A.四条侧棱、四个顶点 B.八条侧棱、四个顶点 C.四条侧棱、八个顶点 D.六条侧棱、八个顶点
分析：选C.由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱,八个顶点.
2.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中,棱柱的个数是
( ) ( )
A.0个 C.2个
B.1个 D.3个
分析：选D.共有3个:棱柱AA1P-DD1Q, 棱柱ABEP-DCFQ,棱柱BEB1-CFC1.
3.如图所示是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为
( )
A.6
B.7
C.8
D.9
分析：选B.还原几何体,如图所示.由图观察知,该几何体有7个顶点.
4.如图是一个正方体的表面展开图,若图中“努”在正方体的后面,那么这个正方体的前面是
( )
A.定
B.有
C.收
D.获
分析：选B.这是一个正方体的表面展开图,共有六个面,其中面“努”与面“有”相对,
所以图中“努”在正方体的后面,则这个正方体的前面是“有”. 5.用一个平面去截一个正方体,截面边数最多是 .
分析：因为用平面去截正方体时,最多与六个面相交得六边形,即截面的边数最多为6. 答案:6
6.现有两个完全相同的长方体,它们的长、宽、高分别是5 cm,4 cm,3 cm,现将它们组合成一个新的长方体,这个新长方体的体对角线的长是多少?
分析：将两个完全相同的长方体组合成新长方体,其情形有以下几种:将面积为5×3=15(cm2)的面重叠到一起,将面积为5×4=20(cm2)的面重叠到一起,将面积为4×3=12(cm2)的面重叠到一起. 三种情形下的体对角线分别为:l1=√527√2(cm),l2=√52(cm).
能力提升
1.如图正方体的棱长为1,在面对角线A1B上存在一点P使得|AP|+|D1P|取得最小值,则最小值为
( )
+82+32=
+42+62=√77(cm),l3=√102+42+32=5√5
√2+√6 C.2+√2 D.√2+√2 2
分析：选D.如图所示,将平面A1BCD1绕A1B旋转至A1ABB1,连接AD1交A1B
A.2 B.
于P,
则|AD1|=√1+1+2×1×1??????135°=√2+√2. ( )
2.设M是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点M到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离都相等,则符合条件的点M A.仅有一个
B.有两个 D.不存在
C.有无限多个
分析：选A.由点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,
若点M到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离都相等, 则符合条件的点M只能为正方体ABCD-A1B1C1D1的中心.
3.如图所示,正方体棱长为3 cm,在每个面正中央有个入口为正方形的孔道通到对面,孔的入口正方形边长为1 cm,孔的各棱平行于正方体各棱.则所得几何体的总表面积为
( )
A.54 cm2
B.76 cm2
C.72 cm2
D.84 cm2
分析：选C.由题意知该几何体的总表面积包含外部表面积与内部表面积.
S外=6×32-6×12=48(cm2),S内=4×6=24(cm2). 所以S总=48+24=72(cm2).
4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=√2,BB1=2,∠ABC=90°,E,F分别为AA1,C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为
3√2√2A. B.√2 C. 22
分析：选C.由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形.
( )
D.2√2
①若把平面ABB1A1和平面B1C1CB展开在同一个平面内,则线段EF在直角三角形A1EF中,由勾股定理得EF=√??1
?? 2+??1
?? 2=√12
+(
3√22
)
2√22=. 2
②若把平面ABB1A1和平面A1B1C1展开在同一个平面内,设BB1的中点为G,在直角三角形EFG中,由勾股定理得EF=√???? 2+???? 2=√(√2)+(1+
2
27√2)=√22
+√2.
③若把平面ACC1A1和平面A1B1C1展开在同一个平面内,过F作与CC1平行的直线,过E作与AC平行的直线,所作两线交于点H,则EF在直角三角形EFH中,由勾股定理得EF=√????2+????2=√(2-)+(1+
2
12123√2)=. 22
3√2. 2
5.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的四面体)的展开图的是
综上可得从E到F两点的最短路径的长度为
( )
分析：选CD.可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现A,B可折成正四面体,C,D不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.
6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,已知平面α⊥AC1,则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是 A.截面形状可能为正三角形 B.截面形状可能为正方形 C.截面形状可能为正六边形 D.截面面积最大值为3√3
分析：选ACD.如图,显然A,C成立,下面说明D成立,如图设截面为多边形GMEFNH,
( )
设A1G=x,则0≤x≤1,
则GH=ME=NF=√2x,MG=HN=EF=√2(2-x),MN=2√2, 所以多边形GMEFNH的面积为两个等腰梯形的面积和,
11
所以S=·(GH+MN)·h1+·(MN+EF)·h2,
22
因为h1=√[√2(2-??)]=√
32
2
-(
2√2-√2??2
)
2
(2-??)
2
,
2√2-√2(2-??)
2
23??22
h2=√(√2??)
2
-[
]=√
, 133221
√(2-??)+[2√2+√2(2-x)]·√??=-所以S=(√2x+2√2)·
2222
√3x2+2√3x+2√3.
当x=1时,Smax=3√3,故D成立. 7.侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱. 侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱.
底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱. 底面是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体. 底面是矩形的直平行六面体称为长方体. 棱长都相等的长方体称为正方体. 请根据上述定义,回答下面的问题: (1)直四棱柱 是长方体.
(2)正四棱柱 是正方体.(填“一定”“不一定”或“一定不”)
分析：由直四棱柱的定义可知,直四棱柱不一定是长方体;长方体一定是直四棱柱;
由正四棱柱的定义可知,正四棱柱不一定是正方体;正方体一定是正四棱柱. 答案:(1)不一定 (2)不一定
8.正方体的棱长为a,且正方体各面的中心是一个几何体的顶点,这个几何体的棱长为 .
分析：如图所示,取棱中点O,连接OD,OE,由正方体的性质可得OD⊥
1
OE,OD=OE=a, 2
则DE=√????2+????2=
√2√2a,即几何体的棱长为a. 22
√2a 2
9.已知正六棱柱的一条最长的体对角线长是13,侧面积为180,求正六棱柱的全面
答案:
积.
分析：如图所示,设正六棱柱的底面边长为a,侧棱长为h,易知CF′是正六棱柱的一条最长的体对角线,即CF′=13.
因为CF=2a,FF′=h,
22√所以CF′=????+????'=√4??2+?2=13.①
因为正六棱柱的侧面积为180, 所以S侧=6a·h=180.②
5
??=6??=
2. 联立①②解得{,或{
?=5?=12
√32
当a=6,h=5时,2S底=6×a×2=108√3.
4
所以S全=180+108√3.
575√3√3当a=,h=12时,2S底=6×a2×2=, 244
75√3所以S全=180+. 4
10.直四棱柱的底面是矩形,且底面对角线的夹角为60°,对角面的面积为S,求此直
四棱柱的侧面积.
分析：如图所示,设侧棱长为l,底面对角线长为t,则AC=BD=t,
设AC与BD相交于O点,则∠AOD=60°,∠AOB=120°,所以△AOD是等边三角形.
11所以AD=OA=AC=t. 22
所以△AOB是顶角为120°的等腰三角形,AB=√3OA=为S,S=t·l,
??1??√3√3??所以t=.所以AD=t=,AB=t=. ??22??22??
√3t.又因为对角面的面积2
所以S侧=2(AD+AB)l=(
????
+
√3??)l=(√3+1)S. ??
-2021学年高一下学期数学人教版B版(2019)必修第四册第十一章立体几何初步
