直线与圆的方程的应用
1.直线a?x?1??b?y?1??0与圆x?y?2的位置关系是( )
22A.相切 B.相离 C.相切或相交 D.相切或相离
2222
2.圆C1：x+y+4x-4y+7=0与圆C2：x+y-4x-10y+13=0的公切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
22
3.与圆x+(y-2)=1相切，且在两轴上截距相等的直线有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.6条
22
4.直线ax+by=c与圆x+y=1相切，且a、b、c均不为零，则以|a|、|b|、|c|为长度的线段能构成( ) A.不等边锐角三角形 B.等腰锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
5．点M、N在x2+y2+kx+2y－4=0上，且点M、N关于直线x－y+1=0对称，则该圆的半径等于（ ）． A．22 B．2 C．1 D．3
6．直线2x－y=0与圆C：(x－2)2+(y+1)2=9交于A、B两点，则△ABC（C为圆心）的面积等于（ ）． A．25 B．23 C．43 D．45 7．圆(x－4)2+(y－4)2=4与直线y=kx的交点为P、Q，原点为O，则|OP|·|OQ|的值为（ ）． A．27 B．28 C．32 D．由k确定
8．点P是直线2x+y+10=0上的动点，直线PA、PB分别与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB（O为坐标原点）的面积的最小值等于（ ）． A．24 B．16 C．8 D．4 9．已知圆C的圆心是直线x－y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为________． 10．过原点的直线与圆x2+y2－2x－4y+4=0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________． 11.设圆x?y?4x?5?0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程是 ．
2212．直线x?3y?m?0与圆x?y?1在第一象限内有两个不同的交点，则实数m的取值范围是
22 ．
13．已知圆O1：x2+y2+2x+6y+9=0与圆O2：x2+y2―6x+2y+1=0．求圆O1和圆O2的公切线方程． 14．求与y轴相切，且与圆A：x2+y2―4x=0也相切的圆P的圆心的轨迹方程．
15．有弱、强两个喇叭在O、A两处，若它们的强度之比为1∶4，且相距60 m，问在什么位置听到两个喇叭传来的声音强度是相等的？
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【答案与解析】 1.【答案】C
直线过定点??1,?1?.又??1????1??2，∴点在圆上，过圆上一点的直线与圆的位置关系有两种相切或相交.
2. 【答案】C
【解析】两圆公切线的条数取决于两圆的位置关系，相离：4条;外切：3条;相交：2条;内切：1条;内含：
2222
0条.C1：(x+2)+(y-2)=1，C2：(x-2)+(y-5)=16，C1C2=5=r1+r2，故两圆外切，公切线共3条. 3. 【答案】C
【解析】此题主要考查圆的切线及直线的截距的概念.过原点的有2条;斜率为-1的有2条. 4. 【答案】C
【解析】由圆心到直线的距离为圆的半径1，得5．【答案】D
【解析】 由M、N两点关于直线x－y+1=0对称，可知直线x－y+1=0过圆心??方程即为(x+2)2+(y+1)2=9，∴r=3． 6．【答案】A 【解析】 ∵圆心到直线的距离d?22|c|a2?b2=1，两边平方得a+b=c.
222
?k?,?1?，∴k=4，∴圆的?2?|4?1|?5， 5 ∴|AB|?29?d2?4，∴S?ABC?1?4?5?25． 27．【答案】B
【解析】 由平面几何知识可知|OP|·|OQ|等于过O点圆的切线长的平方． 8．【答案】C 【解析】 ∵四边形PAOB的面积S?2?垂直直线2x+y+10=0时，其面积S最小． 9．【答案】(x+1)2+y2=2
【解析】 根据题意可知圆心坐标是（―1，0），圆的半径等于1|PA|?|OA|?2OP2?OA2?2OP2?4，∴当直线OP2|?1?0?3|?2，故所求的圆的方程是2(x+1)2+y2=2． 10．【答案】2x―y=0 【解析】 设所求直线方程为y=kx，即kx―y=0．由于直线kx―y=0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，
?2?由此得圆心到直线距离等于1????0，即圆心位于直线kx―y=0上，于是有k―2=0，即k=2，因此
?2?22所求直线方程为2x―y=0． 11．【答案】x?y?4?0
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【解析】
12．【答案】3?m?2
【解析】结合图形，求出直线与圆在第一象限相切时的m值为2，求出直线过（0,1）点时的m值为3，进而得出m的取值范围． 13．【答案】y+4=0或4x―3y=0或3x+4y+10=0 【解析】 圆O1的圆心坐标为O1（―1，―3），半径r1=1，圆O2的圆心坐标O2（3，―1），半径r2=3，则|O1O2|＞r1+r2，
?|?3?k?b|?1 ①?2?1?k∴? 解得
|3k?1?b|??3 ②2??1?k4??k?0?k? 或 ?3 或 ?b??4???b?03?k????4， ?5?b????2当斜率不存在时，x=0也和两圆相切，∴所求切线的方程为y+4=0或4x―3y=0或3x+4y+10=0．
14．【答案】y2=8x（x＞0）和y=0（x≠0，x≠2） 【解析】把圆的方程配方得(x―2)2+y2=4．
设P（x，y）为轨迹上任意一点．
（1）当圆P与定圆A外切时，不妨设两圆切点为B，且圆P与y轴相切于点N，则|PA|=|PN|+|AB|，即(x?2)2?y2?|x|?2．
当x＞0时，y2=8x
当x＜0时，轨迹不存在；
综上可知，动圆圆心的轨迹方程为y2=8x（x＞0）和y=0（x≠0，x≠2）．
【总结升华】由于两圆相切可以是外切，也可以是内切，所以情况（2）的讨论是必不可少的，这也是解答本题易忽视的地方，要引起重视． 15．【答案】P点的轨迹是以（－20，0）为圆心，40为半径长的圆周，也就是在此圆周上听到的声音强度相等
【解析】以OA为x轴，O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系．
设在P（x，y）处听到O、A两处的喇叭声音强度相等．
|OP|21x2?y21??由物理学知，即，整理得(x+20)2+y2=402． 222|PA|4(x?60)?y4故P点的轨迹是以（－20，0）为圆心，40为半径长的圆周，也就是在此圆周上听到的声音强度相等．
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