3.1.1 空间向量及其加减运算
基础练习
1．下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．a＋b与b＋a不一定相等
→→→
D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC 【答案】B
【解析】|a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；空间向量加法满足交换律，故a＋b＝b＋a恒成立；一般的四边形→→→
不具有AB＋AD＝AC，只有平行四边形才能成立．故选项A，C，D均不正确．
→→→→
2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO＋OB＝DO＋OC，则四边形ABCD是( ) A．平行四边形 C．等腰梯形 【答案】A
→→→→→→→→→→
【解析】∵AO＋OB＝DO＋OC，∴AB＝DC.∴AB∥DC且|AB|＝|DC|.∴四边形ABCD为平行四边形．
→→→
3．空间任意四个点A，B，C，D，则DA＋CD－CB等于( ) →A．DB →C．AB 【答案】D
→→→→→→
【解析】DA＋CD－CB＝DA＋BD＝BA.
→→→
4．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则用向量a，b，c→
表示向量BD1正确的是( )
→B．AC →D．BA B．空间四边形 D．矩形
A．a＋b＋c
B．b－a＋c
C．a＋b－c 【答案】B
D．－a＋b－c
→→→→→→
【解析】BD1＝BD＋DD1＝AD－AB＋AA1＝b－a＋c.故选B．
→
5．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则向量AC1的模长为________． 【答案】3
→
【解析】AC1为正方体的对角线，其长为3，所以向量AC1的模长为3.
→→→→→
6．三棱柱ABCA1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B可用a，b，c表示为A1B＝________. 【答案】－a＋b－c
→→→→→→→【解析】如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，且CA＝a，CB＝b，CC1＝c，所以A1B＝A1A＋AC＋CB→→→→→→
＝C1C－CA＋CB＝－CA＋CB－CC1＝－a＋b－c.
→→→→→→
7．在四面体ABCD中，设AB＝b，AC＝c，AD＝d，用b, c，d表示BD，BC，CD. →→→→→→→→→
解：BD＝BA＋AD＝d－b，BC＝BA＋AC＝c－b，CD＝CA＋AD＝d－c.
8．已知四面体ABCD中，G为△BCD的重心．E，F，H分别为棱CD，AD和BC的中点，化简下列各式：
→1→1→(1)AG＋BE＋CA；
321→→→
(2)(AB＋AC－AD)． 2
→1→
解：(1)如图所示，由G是△BCD的重心知GE＝BE.
3
11→→
又E，F分别为CD，AF的中点，∴EF∥AC且EF＝AC，则CA＝EF.
22→1→1→→→→→
∴AG＋BE＋CA＝AG＋GE＋EF＝AF.
32
1→→→1→→
(2)由向量加法的平行四边形法则及几何意义知(AB＋AC)＝AH，AD＝AF.
22
1→→→→→→∴(AB＋AC－AD)＝AH－AF＝FH. 2
能力提升
9．若A，B，C，D为空间四个不同的点，则下列各式结果为零向量的是( )
→→→→→→→→→→→→→→→→①AB＋2BC＋2CD＋DC；②2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC；③AB＋CA＋BD；④AB－CB＋CD－AD. A．①② C．②④ 【答案】C
→→→→→→→→→→→→→→→
【解析】AB＋2BC＋2CD＋DC＝AB＋2BD＋DC＝AC＋BD；2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC＝2AC＋→→→→→→→→→→→→
3CA＋AC＝0；AB＋CA＋BD＝CD；AB－CB＋CD－AD＝AC＋CA＝0.故②④正确．
10．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1
的中点，则( )
→→→
A．EF＋GH＋PQ＝0 →→→
C．EF＋GH－PQ＝0 【答案】A
→→→→→→→→→
【解析】EF＋GH＋PQ＝AF－AE＋CH－CG＋D1Q－D1P＝0.故选A． 11．给出下列几个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；
→→
②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a≠b的充要条件是a与b不同向且|a|≠|b|. 其中正确命题的序号是________． 【答案】②③
【解析】①④均不正确．在④中，a≠b的充要条件是a与b不同向或|a|≠|b|. →→→→
12．如图，在四棱柱A′B′C′D′ABCD中，求证：AB＋BC＋CA′＝DD′.
→→→
B．EF－GH－PQ＝0 →→→
D．EF－GH＋PQ＝0 B．②③ D．①④
→→
证明：如图，作向量AA′，AC. →→→→→→AB＋BC＝AC，AC＋CA′＝AA′，
2024_2024学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算课时规范训练新人教A版
