平面向量专题
一、选择题
例 1.
a b 0 ， | a | 1， | b | 2 ，则 AD ABC 中， AB 边的高为 CD ，若 CB a ， CA b ，
2 2
（ B） a b
3 3
3 3
（ C） a b
5 5
4 4
（ D ） a b
5 5
1 1
（ A ） a b
3 3
例 2.设 x
R ，向量 a ( x,1),b (1, 2), 且 a b ，则 | a b |
（ B） 10
（ C） 2 5
（ D） 10
（ A） 5
例 3.设 a， b 是两个非零向量。 A. 若|a+b|=|a|-|b| C. 若|a+b|=|a|-|b|
，则 a⊥ b B.
D.
若 a⊥ b，则 |a+b|=|a|-|b|
若存在实数 λ ，使得 b=λ a，则|a+b|=|a|-|b|
，则存在实数 λ ，使得 b=λ a
例 4.设 a 、 b 都是非零向量，下列四个条件中，使
a
b
| a | | b |
| a | | b | 且 A 、 a // b
成立的充分条件是（ ）
B 、 a b C、 a // b D、 a 2b
）
例 5.设向量 a =（ 1. cos ） 与 b =（-1， 2 cos ）垂直，则 cos2 等于 （
A
2 2
B
1 2
C .0 D.-1
1
例 6. 已知向量 a = (1, —1) ， b = (2,x). 若 a ·b = 1, 则 x =
(A) —1 (B) —
(C)
1 2
2
例 7.若向量 AB
(D)1
(1,2) ， BC (3,4) ，则 AC
B. ( 4, 6)
C. ( 2, 2)
D. (2, 2)
A. (4,6)
例 8. 对任意两个非零的平面向量
和 ，定义
. 若两个非零的平面向量
a ， b 满足 a 与 b 的夹角
n Z 中，则 a b , ，且 a b和 b a 都在集合
4 2 2
A.
n
5 2 1 2
B.
3 2
C. 1 D.
1 2
例 9.已知向量 a=（ x-1,2 ）， b=（ 2,1），则 a⊥ b 的充要条件 A.x=-
B.x-1 C.x=5 D.x=0
AB ， AQ
例 10.在△ ABC 中， AP = A=90 °， AB=1 ，设点 P，Q 满 足 =(1- ) AC ，
R。若 BQ
CP =-2 ，则
=
2 3
（ A）
1 3
（ B） C）
4 3
（D） 2
例 1 已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b 10 ； 则 b
例 2.设向量 a
(1,2m) ， b ( m 1,1) ， c (2, m) ，若 (a c) b ，则 | a | 3 且 AP AC =
.
.
例 3.如图 4，在平行四边形 ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为 P， AP
例 4.已知向量 a=（ 1,0）， b=（ 1,1），则 （Ⅰ）与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为 （Ⅱ）向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为
； 。
例 5.已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点， 则 DE CB 的值为
，DE DC 的最大值为 。
练习：
1.
AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线， AB (2,4), AC (1,3), 则AD （
A． (2, 4) B ． (3,7)
C ． (1,1) D． ( 1, 1)
）
2. 平面向量 a ， b 共线的充要条件是
A.
a ， b 方向相同
B.
a ， b 两向量中至少有一个为零向量
存在不全为零的实数
1 ， 2 ， 1
C.
R，使得 b a
D.
a
2
b 0
3. 如图，在等腰直角
ABO 中，设 OA a, OB b, OA OB 1,C 为 AB 上靠近点 A的四等分点，过 C 作 AB 的垂
p, 则 p (b a)
线 l ，设 P 为垂线上任一点， OP
A.
1 2
B.
1 2
C.
3 2
D .
3 2
4. 已知平面向量 a
A． 5
(1,2), b ( 2, k), 若a与b 共线，则 3a b =
B． 2 5
C． 5 2
D． 5
)
5. 已知 | a | 6 ， | b | 3 ， a b 12 ，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 (
C．－ 2
D． 2
A．－ 4
B． 4
6. 已知平面向量 a 和 b ， | a | 1 ， | b | 2 ，且 a 与 b 的夹角为 120°，则 | 2a b | 等于
A． 6
B． 2 5
C． 4
D． 2
r r r r
7. 已知向量 a (2,1) ， b (1,k) ，且 a 与 b 的夹角为锐角，则 k 的取值范围是（
）
（ A）
2,
2
1 1
（ B） ( 2, ) ( ,
2 2
2
)
（C） ( , 2) （ D） ( 2,2)
8.
ABC 中，设 AC
A. 垂心
AB
B. 内心
2 AM BC ，那么动点 M 的轨迹必通过
C. 外心
D.
重心
ABC 的（
）
9. 过点 M (2,0) 作圆 x2
y
2
1的两条切线 MA ， MB (A ， B 为切点 ) ，则 MA MB （
）
（ A） 5 3
（ B） 5
（ C） 3 3
（D） 3
2 2 2 2
10.
已知向量 a (1,x) ， b ( 1, x) ，若 2a b 与 b 垂直，则 | a | (
)
A． 2
B
． 3
C
． 2
D
． 4
11.
向量 a (1,1),b (2,t ) , 若 a b , 则实数 t 的值为 A.
2
B.
1
C.
1
D.
2
12.
若向量 a (3, m) ， b (2, 1) ， a b ，则实数 m 的值为
A.
3 3
2
B ．
C
． 2
D
． 6
2
13. 如图，在 ABC中, BD
2DC .若AB a, AC = b,则AD =
C
D
A
B
2 a 1 b 2 1 A.
3 3
B.
3 a 3
b
C.
14.
已知向量 a , b 满足 | a | 1, |b | 2 , a b 1 , 则 a 与 b 的夹角为 ( )
A 、 B 、 3
C 、
D、
3
4 4
6
15.
等腰三角形
ABC 中， AB AC 5, B 30 , P为BC 边中线上任意一点，则
）
1 3 a 2 3
b
D.
CP BC 的值为（
1 3 a 2 3
b）
（
A 、
75 2
B 、
25 2
C
、 5 D 、
75 2
．
16.
已知向量 a (1,3) ， b (m ,2 m 1) ．若向量 a 与 b 共线，则实数 m
17.
设 a ， b ， c 是单位向量，且 a b c ，则向量 a ， b 的夹角等于
．
18. 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ，
ACB 90 ， AC BC 2 ， 点 P 是 斜 边 AB 上 的 一 个 三 等 分 点 ， 则
CP CB CP CA
．
19. 若向量 a ， b 满足 a
1 ， b 2 ，且 a ， b 的夹角为
，则 ．
3
a b =
， a b
20. 设平面向量 a (1,2), b
( 2, y) ，若 a / /b ，则 y
21. 向量 a, b的夹角为 120°， | a | 1,| b | 3, 则| 5a b |=
．
22.
已知 a
1 ， b 2 。（ 1）若 a与b 的夹角为
3 ，求 ( a
4
b) (a b) 的值；
（ 2）若 a b与a 垂直，求 a与b 的夹角。
23.
3 已知向量 a (sin x, 4
), b (cos x, 1) ．（ 1）当 a // b 时，求 cos2
x sin 2x 的值；
（ 2 ） 设 函 数
f (x) 2(a b) b ， 已 知 在 △ ABC 中 ， 内 角
A、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a、b、c ，
a 3, b 2,s i nB
6
3
, 求 f x
4 cos 2A
（ x6
0, ）的取值范围． 3
若
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