??≥0,? ?(x1?1)?(x2?1)?0, ??????10分
?(x?1)(x?1)?0?12时，抛物线与x轴的两交点都在直线x?1的右侧．
?(2k?1)2?4k2≥0,?由 ??2k?1?0,
?2?k?2k?0,1?k≤,?4?1?解之，得 ?k??, ??????15分
2??k??2或k?0.??所以当k??2时，抛物线与x轴的两交点在直线x?1的右侧． ??????20分
11（B）．已知抛物线y?x2与动直线y?(2t?1)x?c有公共点(x1,y1)，
(x2,y2)，
且x12?x22?t2?2t?3. （1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值. 解：（1）联立y?x2与y?(2t?1)x?c，消去y得二次方程
x?(2t?1)x?c?0 ①
2有实数根x1，x2，则x1?x2?2t?1, c?x1x2?11222x1x2?c2．所以
[(x1?x2)?(x1?x2)]
1=[(2t?1)2?(t2?2t?3)]＝(3t2?6t?4)． ②
22 ??????5分
把②式代入方程①得
x?(2t?1)x?212(3t?6t?4)?02． ③
??????10分
t的取值应满足
t?2t?3?x1?x2222≥0， ④
且使方程③有实数根，即
??(2t?1)?2(3t?6t?4)＝?2t?8t?7222≥0， ⑤ ≤t≤2?22解不等式④得 t≤-3或t≥1，解不等式⑤得 2?所以，t的取值范围为
2?2222.
≤t≤2?22. ⑥
??????15分
(2) 由②式知c?由于c?时,cmin?3232212(3t?6t?4)?12232(t?1)?212.
22(t?1)?在2?1222≤t≤2?22时是递增的，所以，当t?2?
(2?22?1)?2?11?624. ??????20分
12（A）．在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数y?(x?90)2?4907的图像上所有“好点”的坐标．
解：设y?m2,(x?90)2?k2，m，k都是非负整数，则
k?m?7?701?1?4907，
22即 (k?m)(k?m)?7?701?1?4907． ?????10分 则有 ??k?m?701,?k?m?7;?k?m?4907, ?k?m?1.?解得
?k1?354,??m1?347;?k2?2454, ?m?2453.?2所以
?x3?2544,?x1?444,?x2??264,?x4??2364, ?????y1?120409;?y2?120409;?y3?6017209;?y4?6017209.故“好点”共有4个，它们的坐标是：
（444，120409），（?264，120409），（2544，6017209），（?2364，6017209）.
??????20分
12（B）．已知正整数a满足192a3?191，且a?2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和．
解：由192a3?191可得192a3?1．192?3?26，且
a?1??a?1??a(a?1)?1??(a?1)a(a?1)?(a?1)．
3 ??????5分
因为a?a?1??1是奇数，所以26a3?1等价于26a?1，又因为3(a?1)a(a?1)，所以3a3?1等价于3a?1．因此有192a?1，于是可得a?192k?1．
??????15分
1，?，10．因此，满足条件的所有可能的正整数a的又0?a?2009，所以k?0，和为
11＋192（1＋2＋?＋10）＝10571． ??????20分
13（A）．如图，给定锐角三角形ABC，BC?CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
解法1：结论是DF?EG．下面给出证明． ??????5分 因为?FCD??EAB，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
DF?BE?CEABCDAB．
同理可得 EG?AD?．
??????10分
又因为tan?ACB?ADCD?BECE，所以有BE?CD?AD?CE，于是可得 DF?EG（第13A题） ．
??????20分
解法2：结论是DF?EG．下面给出证明．
?????? 5分
连接DE，因为?ADB??AEB?90?，所以A，B，D，E四点共圆，故
?CED??ABC． ??????（第13A10分
题） 又l是⊙O的过点C的切线，所以?ACG??ABC． ??????15分 所以，?CED??ACG，于是DE∥FG，故DF＝EG．
??????20分
13（B）．已知AB为⊙O的直径，弦DC//AB，连接DO．过点D作DO的垂线，与BA的延长线交于点E，过点E作AC的平行线交CD于点F，过点D作AC的平行线交BF于点G．求证：AG?BG．
证明：连接AD，BC，因为四边形AEFC是平行四边形，所以AE?FC．
由于AD?CB，?DAE??BCF，因此有?DAE≌
?BCF，于是可得
?ADE??CBF． ??????10分 （第13B题） 又因为DE与⊙O相切于点D，所以?DCA??ADE．结合DG//AC，可得 ?GDC??DCA??ADE??GBC，
于是D，B，C，G四点共圆．因此点G在⊙O上，从而有AG?BG． ??????20分
?，an满足如下条件：1?a1?a2???an?2009； 14（A）．n个正整数a1，a2，?，an中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值． 且a1，a2，?，an中去掉ai后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数bi，解：设a1，a2，i?1，，2?，n．即 bi?(a1?a2???an)?ain?1．
于是，对于任意的1≤i?j≤n，都有
bi?bj?aj?ain?1，
从而 n?1(aj?ai)． ??????5分
由于 b1?bn?an?a1n?1?2008n?1是正整数，故
n?123?251． ??????10分
由于 an?1??an?an?1???an?1?an?2?????a2?a1? ≥?n?1???n?1?????n?1??(n?1)2， 所以，(n?1)2≤2008，于是n ≤45.
结合n?123?251，所以，n ≤9． ??????15分
另一方面，令a1?8?0?1,a2?8?1?1,a3?8?2?1，?，a8?8?7?1，
a9?8?251?1，则这
9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9. ??????20分
14（B）．已知正整数x，y使得使得4k－1整除
4xyx?y4xyx?y是一个奇数，证明：存在一个正整数k，
．
证明：设x?2sa,y?2tb，这里的s，t是非负整数，a，b都是奇数，不妨设
s≥t，则
4xyx?y?2ts?t?2s?tab2(2a?b)?22s?2abs?ta?b． ??????5分
若s?t，则上式的分母是一个奇数，而分子是一个偶数，故上式是偶数，于是，s?t．所以
4xyx?y?2s?2aba?b．
设(a,b)?d，a?a1d,b?b1d,(a1,b1)?1，则
4xyx?y?2s?2a1b1da1?b1
是一个奇数． ??????10分
所以，a1?b1能被2s?2整除，故a1?b1能被4整除，所以a1,b1都是奇数，它们除以4的余数为1或3，如果a1,b1除以4余数都是1，则它们的和不能被4整除，所以其中一定有一个除以4余数为3，设a1除以4余3，则可设a1?4k?1，k是一个正整数，因为(a1,a1?b1)?1，所以a1整除
4xyx?y，从而4k－1整除
4xyx?y．
??????? 20分
2009年全国初中数学联赛试题及答案
