中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a，b 满足 2a?4?b?2?(a?3)b2?4?2a，则a?b等于（ ）．
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为b?2?(a?3)b2?0，于是
a?3，b??2，从而a?b＝1．
2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）．
（A）
5?12 （B）
5?12 （C）1 （D）2
（第2题） 【答】A．
解：因为△BOC ∽ △ABC，所以
1a?aa?1BOAB?BCAC，即
，
所以， a2?a?1?0．
由a?0，解得a?1?25．
3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组? （A）
?ax?by?3，?x?2y?2112 只有正数解的概率为（ ）．
29 （B） （C）
518 （D）
1336
【答】D．
解：当2a?b?0时，方程组无解．
6?2b?x?,??2a?b当2a?b?0时，方程组的解为?
2a?3?y?.?2a?b??2a?b?0,?2a?b?0,?6?2b?0,???33?2a?b??由已知，得?即?a?,或?a?,
2a?322????0,????2a?b?b?3,?b?3.由a，b的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
3，，45，，6?a?2，?a?1，共有 5×2＝10种情况；或?共?b?1，，2b?4，5，，6??3种情况．
1336又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为．
4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，?B?90?. 动点P从点 B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（ ）．
（A）10 （B）16 （C）18 （D）32
图1 【答】B．
图2 （第4题） 解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S△ABC＝×8×4＝16.
215．关于x，y的方程x2?xy?2y2?29的整数解（x，y）的组数为（ ）． （A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组 【答】C．
解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为
x2?yx?(2y2?29)?0．
由于该方程有整数根，则判别式?≥0，且是完全平方数． 由 ??y2?4(2y2?29)??7y2?116≥0， 解得 y2≤
y21167?16.57．于是
0 116 1 109 4 88 9 53 16 4 ?显然，只有y2?16时，??4是完全平方数，符合要求． 当y?4时，原方程为x2?4x?3?0，此时x1??1,x2??3； 当y＝－4时，原方程为x2?4x?3?0，此时x3?1,x4?3． 所以，原方程的整数解为
?x3?1,?x2??3,?x4?3,?x1??1, ? ? ? ?y?4;y??4;y??4.y?4;?2?4?1?3二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．
【答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为
k5000,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为
k3000.又设一对新轮胎交
换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
ky?kx??k,??50003000 ?kykx???k,??50003000两式相加，得
k(x?y)5000?k(x?y)3000?2k，
则 x?y?215000?13000?3750．
7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则
AHAB的值为 ．
解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ． 由题设知AC?13AD，AB?13AE，在△FHA和△EFA中，
?EFA??FHA?90?，?FAH??EAF所以 Rt△FHA∽Rt△EFA，
而AF?AB，所以
AHABAHAF?13?AFAE.
.
（第7题） 8．已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整数，若b是关于x的方程?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根，则b的值为 ． 【答】 10．
解：因为?b?a1??b?a2??b?a3??b?a4??b?a5??2009，且a1，a2，a3，a4，a5是
五个不同的整数，所有b?a1，b?a2，b?a3，b?a4，b?a5也是五个不同的整数．
又因为2009?1???1??7???7??41，所以
b?a1?b?a2?b?a3?b?a4?b?a5?41．
由a1?a2?a3?a4?a5?9，可得b?10．
9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为?ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．
【答】
6027．
解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且?ACB?90?． 作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由?ECF?是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以
即
607x15EFAC??BFBC12?ACB?45?，得
CF＝x，于
， ，
602720?x20解得x?．所以CE?2x?．
（第9题） 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3心里想的数是 ． 【答】?2．
解：设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数应是8?x． 于是报7的人心里想的数是 12?(8?x)?4?x，报9的人心里想的数是
16?(4?x)?12?x，报
（第10题） 是：告诉他的的人
1的人心里想的数是 20?(12?x)?8?x，报3的人心里想的数是4?(8?x)??4?x．所以
x??4?x， 解得x??2．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11（A）．函数y?x2?(2k?1)x?k2的图像与x轴的两个交点是否都在直线
x?1的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x?1的右
侧时k的取值范围．
解：不一定，例如，当k＝0时，函数的图像与x轴的交点为（0，0）和 （1，0），不都在直线x?1的右侧． ??????5分
设函数与x轴的两交点的横坐标为x1且仅当满足如下条件
,x2，则x1?x2??(2k?1),x1x2?k2，当
2009年全国初中数学联赛试题及答案
