多元统计分析复习材
料
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多元统计分析: 通过对多个随机变量观测数据的分析，来研究变量之间的相互关系以及揭示这些变量内在的变化规律。多元统计分析是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律性的一门统计学科。
随机向量:将p个随机变量X1,X2,…,Xp的整体称p维随机向量，记为X=(X1,X2,…,Xp)’。
随机向量的数字特征：X=(X1,X2,…,Xp)’,若EXi（i=1,…,p）存在且有限，则称E(X)=(EX1,EX2,…,EXp)’为X的均值(向量)或数学期望。性质①E(AX)=AE(X) ②E(AXB)=AE(X)B ③E(AX+BY)=AE(X)+BE(Y)。
协差阵：设(X1,…,Xp)’ ，Y=(Y1,…,Yp)’，称D(X)=E(X-EX)(X-EX)’
=Cov(X1,X1)…Cov(X1,Xp) 为X的方差或协差阵，D(X)简记∑，Cov(Xi,Xj)简记σij，
Cov(XP,X1)…Cov(Xp,Xp) 从而有∑=(σij)pxp。称随机向量X和Y的协差阵为Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)’= Cov(X1,Y1)…Cov(X1,Yq) Cov(XP,Y1)…Cov(Xp,Yq)。
多元正态分布:若p维随机向量(X1,…,Xp)’的密度函数为：
1?1?其中x=(x1,…,xp)’,μ是f(x1,?xp)?exp??(x?μ)???1(x?μ)?1/2?2X服从p元正态分布，简记为?(2p?阶正定阵，则称)p?p维向量，∑是X~Np(μ,∑)。
一个样本:从多元总体中随机抽取n个个体:X(1),X(2),…,X(n),若他们相互独立且与总体分布相同，则称X(1),X(2),…,X(n)为该总体的一个多元样本。一个样品:每个X(α)=(Xα1,Xα2,…,Xαp)’，(α=1,2,…,n)称为一个样品。n×p阶样本资料阵：X= X11…X1p = X(1)’
Xn1…Xnp X(n) 多元样本数字特征: 样本均指向量
、样本协差阵
用最大似然法求出μ和∑的估计量分别为
、样本离差阵
多元数据图:①使高维空间的点与平面上的某种图形对应这种图形能反映高维数据的某些特点或数据间的某些关系。②在尽可能多的保留原数据信息的原则下进行降维，若能使数据维数降到2或1，则可在平面上点图。
聚类分析及原则:又称群分析，它是研究(样品或指标)分类问题分类问题的一种多元统计方法，“类”指的是相似元素的集合。原则：让相近相似的对象尽可能分在一类。变量(指标)类型：间隔尺度如长度、重量；有序尺度如某产品分上中下三等；名义尺度如某物体有红黄白三种颜色，医学化验中的阴性与阳性。
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欧氏距离 优点:当坐标轴进行正交旋转时，欧氏距离
是保持不变的。因此，如果对原坐标系进行平移和旋转变换，则变换后样品点间的相似情况(即它们间的距离)完全等同于变换前的情形。缺点:它与各指标的量纲有关、它没有考虑指标之间的相关性 马氏距离
优点:既排除了各指标之间相关性的干
扰，而且还不受各指标量纲的影响。还有可以证明，将原始数据作一线性交换后，马氏距离仍不改变等等。缺点:马氏距离与测量单位无关，但是它夸大了变化微小的变量(或指标)的作用（因为赋予的权重较大）。
判别分析及其与聚类分析的异同:已知研究对象分成若干类型并已取得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型样品进行判别分类。相同点:相似之处，都是用来对样品进行分类，即分析每一个样品归属于哪一类.不同点:判别分析是先已知某些样品的分类结果，然后总结出判别规则，是一种有指导的学习。而聚类分析则是有了一批给定的样品，而要划分的类型事先并不知道，甚至连分成几类也不知道，希望用某种方法把观测进行合理的分类，使得同一类的观测比较接近，不同类的观测相差较多，这是一种无指导的学习。
主成分分析:将多个指标简化为少数几个相互无关的综合指标的统计方法，核心是降维
因子分析:将具有错综复杂关系的变量综合为数量较少的几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，同时根据不同的因子还可以对变量进行分类，核心是降维。
对应分析:将R型与Q型因子分析结合起来的一种统计分析方法，也是利用降维的思想以达到简化数据结构的目的。
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