2019年电大高等数学基础期末考试试题及答案

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2019年电大高等数学基础期末考试试题及答案

一、单项选择题

1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A.

f(x)?(x)2，g(x)?x B. f(x)?x2，g(x)?x

2 C.f(x)?lnx3，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?x?1x?1

1-⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（C ）对称．

A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x

设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（D ）对称．

A. y?x B. x轴 C. y轴 D. 坐标原点 .函数y?e?x?ex2的图形关于（ A ）对称．

(A) 坐标原点 (B) x轴 (C)

y轴 (D) y?x

1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．

A. y?ln(1?x2) B. y?xcosx C. y?ax?a?x2 D.

y?ln(1?x)

下列函数中为奇函数是（A ）． A.

y?x3?x B. y?ex?e?x C. y?ln(x?1) D. y?xsinx

下列函数中为偶函数的是（ D ）．

A

y?(1?x)sinx B y?x2x C y?xcosx D y?ln(1?x2)

2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）．

A. limx2x??x2?2?1 B. limx?0ln(1?x)?0 C. limsinxx??x?0 D. lim1x??xsinx?0

2-2当x?0时，变量（ C ）是无穷小量．

A. sinxx B. 1x C. xsin1x D. ln(x?2)

当x?0时，变量（ C ）是无穷小量．A 1sinxxxx B x C e?1 D x2

.当x?0时，变量（D ）是无穷小量．A 1sinx B xx C 2x D ln(x?1)

下列变量中，是无穷小量的为（ B ）

Asin1x?1x?0? B ln?x?1??x?0? Cex?x??? D.x?2x2?4?x?2?

3-1设

f(x)在点x=1处可导，则limf(1?2h)?f(1)h?（ D ）．

h?0A. f?(1) B. ?f?(1) C. 2f?(1) D. ?2f?(1)

设

f(x)在xf(x0?2h)?f(x0)0可导，则limh?0h?（ D ）． A f?(x0) B 2f?(x0) C ?f?(x0) D ?2f?(x0)

设

f(x)在x(x0?2h)?f(x0)0可导，则limfh?02h?（ D ）．

A. ?2f?(x0) B. f?(x0) C. 2f?(x0) D. ?f?(x0)

设

f(x)?ex，则?limf(1??x)?f(1)x?0?x?（ A ） A e B. 2e C. 112e D. 4e

3-2. 下列等式不成立的是（D ）．

1

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11A.exdx?dex B ?sinxdx?d(cosx) C.

2xdx?dx D.lnxdx?d(x)

下列等式中正确的是（B ）．A.d(11dx1?x2)?arctanxdx B. d(x)??x2 C.d(2xln2)?2xdx D.d(tanx)?cotxdx

4-1函数f(x)?x2?4x?1的单调增加区间是（ D ）．

A. (??,2) B. (?1,1) C. (2,??) D. (?2,??)

函数y?x2?4x?5在区间(?6,6)内满足（A ）．

A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升

.函数

y?x2?x?6在区间（－5，5）内满足（ A ）

A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C先单调上升再单调下降 D 单调上升

. 函数

y?x2?2x?6在区间(2,5)内满足（D ）．

A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 5-1若

f(x)的一个原函数是

112x，则f?(x)?（D ）． A. lnx B. ?1x2 C.

x D.

x3.若F(x)是 f(x) 的一个原函数，则下列等式成立的是（ A ）。

A?xF(x)dxaf(x)dx?F(x)?F(a)b B

?a?f(b)?f(a)

Cf?(x)?F(x) D?bf?(x)dx?F(b)?F(a)

a5-2若

f(x)?cosx，则?f?(x)dx?（ B ）．

A. sinx?c B. cosx?c C. ?sinx?c D. ?cosx?c 下列等式成立的是（D ）．

A.

?f?(x)dx?f(x) B. ?df(x)?f(x)

C. d?f(x)dx?f(x) D. ddx?f(x)dx?f(x) ddx?x2f(x3)dx?（ B ）． A. f(x3) B. x2f(x3) C. 13f(x) D. 13f(x3) ddx?xf(x2)dx?（ D ） A xf(x2) B 12f(x)dx C 12f(x) D xf(x2)dx ⒌-3若?f(x)dx?F(x)?c，则?1xf(x)dx?（ B ）． A. F(x)?c B. 2F(x)?c C. F(2x)?c D. 1xF(x)?c 补充： ?e?xf(e?x)dx? ?F(e?x)?c??, 无穷积分收敛的是 ?11x2dx 函数f(x)?10x?10?x的图形关于 y 轴 对称。

二、填空题 ⒈函数f(x)?x2?9x?3?ln(1?x)的定义域是 （3，+∞） ．

函数

y?xln(x?2)?4?x的定义域是 （2，3） ∪ （3，4 ]

函数f(x)?ln(x?5)?12?x的定义域是 （－5，2）

若函数f(x)???x2?1,x?0，则f(0)??2x,x?0 1 ．

2

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?12若函数f(x)???(1?x)x,x?0，在x?0处连续，则k? e

．

??x?k,x?0?.函数f(x)??sin2x?xx?0在x?0处连续，则k? 2

??kx?0函数y???x?1,x?0?sinx,x?0的间断点是 x=0 ．

函数y?x2?2x?3x?3的间断点是 x=3 。

函数y?11?ex的间断点是 x=0 3-⒈曲线f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是 1/2 ．

曲线f(x)?x?2在(2,2)处的切线斜率是 1/4 ．

曲线

f(x)?ex?1在（0，2）处的切线斜率是 1 ．

.曲线

f(x)?x3?1在(1,2)处的切线斜率是 3 ．

3-2 曲线f(x)?sinx在(π2,1)处的切线方程是 y = 1 ．切线斜率是 0

曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1

4.函数y?ln(1?x2)的单调减少区间是 （－∞，0 ） ．

函数f(x)?ex2的单调增加区间是 （0，+∞） ．

.函数y?(x?1)2?1的单调减少区间是 （－∞，－1 ） ．

.函数f(x)?x2?1的单调增加区间是 （0，+∞） ．

函数y?e?x2的单调减少区间是 （0，+∞） ． 5-1d?e?x2dx?

e?x2dx

． .

ddx?sinx2dx? sinx2． ?(tanx)?dx? tan x +C ．

若?f(x)dx?sin3x?c，则f?(x)? －9 sin 3x ．

35-2 ?(sin5?3x?12)dx?1 3 ． ?x3?1x2?1dx? 0 ． ddx?e1ln(x?1)dx? 0 下列积分计算正确的是（ B ）．

A

?1111?1(ex?e?x)dx?0 B??1(ex?e?x)dx?0 C??1x2dx?0 D ??1|x|dx?0

三、计算题

（一）、计算极限（1小题，11分）

（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。 （2）利用连续函数性质：

f(x0)有定义，则极限limxf(x)?f(x0)

x?0类型1： 利用重要极限 limsinxx?1 ， limsinkxx?k， limtankxx?k 计算

x?0x?0x?01-1求limsin6xsin6x． 解： x?0sin5xlimsin6xx6 x?0sin5x?limx?0?sin5x?5x1-2 求 limtanxtanxx?03x 解： limx?03x?13limtanx11x?0x?3?1?3 1-3 求limtan3xtan3xtan3xx 解：x?0limx=x?0limx?03x.3?1?3?3

3

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类型2： 因式分解并利用重要极限 limsin(x?a)?1， x?ax?a(x?a)limx?asin(x?a)?1 化简计算。

2-1求limx2?1x2?1(x?1)x??1sin(x?1)． 解： limx??1sin(x?1)=limx??1sin(x?1).(x?1)?1?(?1?1)??2 2-2limsin?x?1?x?1x2?1 解： limsin(x?1)x2?1?limsin(x?1)).1(x?1)?1?11?1?12

x?1x?1(x?12-3limx2?4x?3 解： x2?4x?3x?3sin(x?3)limx?3sin(x?3)?lim(x?3)(x?1)x?3sin(x?3)?limx?3(x?1)?2 类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限

3-1 limx2?6x?8x2?6x?8(x?4)(x?2)x?4x2?5x?4 解： limx?4x2?5x?4=limx?4(x?4)(x?1)?limx?22x?4x?1?3

3-2 limx2?x?6x2?x?6?x?3??x?2?x??3x2?x?12 limx??3x2?x?12?limx??3?x?3??x?4??limx?2x??3x?4?57 3-3 limx2?3x?2x2?3x?2(x?2)(x?2x2?4 解 limx?2x2?4?limx?1)x?2(x?2)(x?2)?limx?11x?2x?2?4 12其他： lim1?x2?1xsinxx?0sinx?lim2x?0sinx?0， limx?0x?1?1?limsinx?01?2 2xlimx2?6x?5x2x??x?4x?5x??x1， lim2x2?6x2x222?lim2?x??3x2?4x?5?limx??3x2?3

tan8x（0807考题）计算limtan8x． 解： tan8xxx?0sin4xlim=x?0sin4xlimx?0sin4x.?84?2 x（0801考题. ）计算limsinx． 解 sinxx?02xlimx?02x?12limsinxx?0x?12 （0707考题.）limx2?2x?3(x?1).(x?3)x??1sin(x?1)=limx??1sin(x?1)?1?(?1?3)??4 （二） 求函数的导数和微分（1小题，11分）

（1）利用导数的四则运算法则 (u?v)??u??v? (uv)??u?v?uv?

（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式

(lnx)??1x (xa)??axa?1 (ex)??ex (eu)??eu.u? (sinx)??cosxx2x(cosx)???sinx(e)??e2.(x2)??2xex2?secx (esinx)??esinx.(sinx)??esinx(tanx)?2cosx (cotx)???csc2x(ecosx)??ecosx.(cosx)???ecosxsinx(sinu)??cosu.u?(cosu)???sinu.u?(sinx2)??cosx2.(x2)??2xcosx2 (cosx2)???sinx2(x2)???2xsinx2 (sinex)??cosex.(ex)??excosex(cose)???sinex.(ex)???exsinex 类型1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。 1-1

y?(xx?3)ex ?31 解：y?＝?3?x2?3??ex???x2?3???ex???3x2ex??3?x?313?x????2?x2?3?e??x2?x2?3??2?e

??

4

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1-2

y?cotx?x2lnx

解：y??(cotx)??(x2lnx)???csc2x?(x2)?lnx?x2(lnx)???csc2x?2xlnx?x

1-3 设y?extanx?lnx，求y?．

解： y??(extanx)??(lnx)??(ex)?tanx?ex(tanx)??1xx21x?etanx?esecx?x

类型2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导 2-1 y?sinx2?lnx，求y? 解：y??(sinx2)??(lnx)??2xcosx2?1x 2-2

y?cosex?sinx2，求

解：y??(cosex)??(sinx2)???sinex.(ex)??cosx2.(x2)???exsinex?2xcosx2

2-3 y?ln5x?e?5x，求， 解：y??(ln5x)??.(e?5x)??5ln4x?5e?5xx

类型3： 乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导 y?ex2cosx，求y? 。 解：y??(ex2)?cosx?ex2(cosx)??2xex2cosx?ex2sinx

其他：y?2x?cosxx，求y?。

解：y??(2x)??(cosxx)??2xln2?(cosx)?.x?cosx.(x)?xsinx?cosxx2?2xln2?x2 0807.设y?esinx?sinx2，求y? 解：y??(esinx)??(sinx2)??esinxcosx?2xcosx2 0801.设

y?xex2，求

y? 解：y??(x)?ex2?x(ex2)??ex2?2x2ex2 0707.设y?esinx?x2，求 解：y??esinx.(sinx)??(x2)??cosxesinx?2x 0701.设y?lnx?cosex，求 解：y??(lnx)??sinex.(ex)??1xxx?esine

（三）积分计算：（2小题，共22分） 凑微分类型1：??1x2dx????d(1x) cos11计算?xcosx2dx 解：?xx2dx???cos1xd(1x)??sin1x?c

sin1sin10707.计算?xxx2dx． 解： ?x2dx???sin1xd(1x)?cos1x?c 11xx110701计算?ex ?e12dx． 解：x2dx???exd(x)??ex?c

凑微分类型2：??1xdx?2??dx .计算

?cosxxdx． 解： ?cosxxdx?2?cosxdx?2sinx?c

0807.计算

?sinxxdx． 解：?sinxxdx?2?sinxdx??2cosx?c

x0801.计算

?exdx 解：?edx?2?exdx?2exxx?c 凑微分类型3：??1xdx???dlnx， ??1xdx???d(a?lnx) 计算?1xlnxdx 解：?1dlnx1xlnxdx??lnx??udu?ln|lnx|?c

5