全国中学生物理竞赛
pa?V0?Tapa， T1nRTa p0
（5） （6）
再考虑喷气过程：因为等温，在每个喷气的小过程中过后，容器内的压强增量?p满足 p??pV0?u， ?pV0 （7）
其中V0为过程?b?中系统的体积，p为这个喷气过程中容器内的压强，那么喷出的气体的动能
?E??p?pa?u，
（8）
与（7）联立，消去u，得 ?Ek???p?pa?V0?p。 p （9）
因此，做变换?E?dE，?p?dp，总的动能则为 Ek????p?pa?V0p0padp pp0 pa （10）
??p0?pa?V0?paV0ln最后，据题意所获得的总的电能为 E?0.45Ek，
（11）
将（4）、（5）、（6）、（10）带入（11）式，得
E?9mL701?T1T1T1?lnTaTaTa；
T11?Ta （12）
代入数据后有 E?1.5?1014J。
（13）
评分标准：参考“参考解答1”的评分标准。
1．根据题意，乒乓球与金属板第一次碰撞前其动能和速度分别为 Ek1?0 v1?0
（1） （2）
刚碰后，乒乓球带的电荷量 q?C0U
（3）
共22页 第 16 页
全国中学生物理竞赛
其动能和速度分别为 ??0 Ek1??0 v1
（4） （5）
此后在电场力作用下乒乓球向另一金属板加速运动。当它到达另一金属板，与金属板第二次碰撞前其动能为 Ek2?E?k2?qU 注意到（3）、（4）式有 Ek2?C20U
与金属板第二次碰撞前的速度为 v2Ek2?m 第二次碰撞后的速度和动能分别 v?2?ev2 E??1mv2k222?
由（9）、（10）式得 E?k2?e2Ek2 乒乓球与金属板第三次撞前动能为 Ek2?E?k2?qU 由（3）、（7）（11）、（12）式得 Ek3??1?e??C20U
乒乓球与金属板第三次碰撞前速度 v1?2Ek2m 乒乓球与金属板第三次碰撞后的速度和动能分别为 v?3?ev3 E?k3?e3Ek3
乒乓球与金属板四次碰撞前的动能 Ek4?E?k3?qU 由（3）、（15）、（18）、（19）式得
Ek4??1?e2?e4?C20U
乒乓球与金属板第四次碰撞前速度为
共22页 第 17 页
（6）
（7）
（8）
（9） （10）
（11）
（12）
（15）
（16）
（17） （18）
（19）
（20）
全国中学生物理竞赛
v4?2Ek4 m （21）
乒乓球与金属板第四次碰撞后的速度和动能分别为 ??ev4 v4
（22） （23）
??e2Ek4 Ek4以此类推，可得乒乓球与金属板第n次碰撞前、后的动能分别为
2Ekn??1?e???e2??en?2??C0U2
??C0U22 ?
（24） （25）
??e2?1?e2Ekn?2?n?2?即
1?e??2 Ekn?CU01?e22n?1 （26）
??Elne2??1?e2?n?1?1?e2??CU2
0 （27）
?均随碰撞次数单调递增。当n??时有 对非弹性碰撞，e?1，可由以上两式看出Ekn和EknEk??1C0U2 21?e
（28） （29）
e2???EkC0U2 21?e乒乓球运动过程中达到的最大动能应与金属板碰撞前的极限动能，即
Ekmax?Ek??1C0U2 21?e （30）
2．经过足够长时间后亦即n??时，乒乓球在某一次与金属板碰撞后和下一次碰撞前的速度分别为 ??v???2Ek?eUm2Ek??Um?1?e?m22C0 （31）
v???1?e2?m
2C0 （32）
此间时间间隔 T?d ??v?v?2 （33）
因此可得，通过外电路的平均电流强度
I?q T （34）
由（31）、（32）、（33）、（34）各式得
共22页 第 18 页
全国中学生物理竞赛
C0U21?eC0 I?d1?e2m （35）
评分标准：（26）、（27）式或（28）、（29）式共8分，（30）式2分，（31）~（33）式各1分，（35）式2分。 七、 参考答案1：
1．a?a和cc?中的感应电动势为 Ea?a?Ecc???1?22Bl?sin? 2 （1）
b?b和dd?中的感应电动势为
?b?b??dd???2?22Bl?cos? 2 （2）
根据电路的对称性可知
Iba?Ia?b??Id?c??Icd?I1?，Iad?Id?a??Ic?b??Ibc?I2
（3）
根据基耳霍夫第一定律，有 Iaa??Ic?c?I1?I2 Ib?b?Idd??I1?I2
（4） （5）
根据基耳霍夫第二定律，有 I1R?Iaa?R?I1R1?Ibb?R??2??1 I1R?Idd?R?I2R?IadR??2??1
（6） （7） （8） （9）
Ibc?IadIad2Bl2? ?I1??cos??sin??
8R2Bl2??Ibc?I2??cos??sin??
8R2．当正方体转动到任意位置（对角线db与磁场夹角为任意?）时，通过a?a、cc?，b?b、dd?的电流 Ia?aIcc?Ib?b2Bl2??Iad?Iba?sin?
4R2Bl2??Ibc?Icd?sin?
44
（10） （11） （12）
2BI2??Iba?Ibc?cos?
4R共22页 第 19 页
全国中学生物理竞赛
Idd?2Bl2??Iad?Icd?cos?
4R （13）
为维持正方体作匀速转动所需的外力矩等于磁场对电路作用的合力矩，即
Fa?a?Fcc??BlIa?a，Fb?b?Fdd??BlIb?b
（14） （15）
M?2Fa?a22lsin??2Fb?blcos? 22将（11）~（14）代入（15），得
B2l4?。 M?2R （16）
评分标准：（1）、（2）式共2分，（4）、（5）式共4分，（6）、（7）式共4分，（10）~（13）式共2分，（14）式1分，（15）式2分，（16）式1分。
参考解答2：
1．a?a和cc?中的感应电动势为
?a?a??cc??22Bl?sin? 2 （1b）
b?b和dd?中的感应电动势为
?b?b??dd??22Bl?cos? 2 （2b）
先计算?b?b和?dd?单独存在（?a?a和?cc?短路）时流过各支路的电流。若将a?a和cc?断开，则等效电路如图所示，则通过b?b和dd?电流 Ib?b?Idd???1??1??b?b??dd?4R2Bl2??cos? 4R （3b）
通过ba、ad、bc和cd的电流强度 Ibd?Iad?Icd?1??1??1?1?1?2Bl2??Ib?b?cos? 28R （4b）
根据电路的对称性，此时a?、a之间，c、c?之间的电势差 Ua?a?Ucc??0
（5b）
由此连接a?a和cc?后流过a?a和cc?的电流。
????Iaa??Icc??0
11 （6b）
因此连接a?a和cc?不影响ba和ad中的电流。
再计算?a?a和?cc?单独存在（?b?b和?dd?短路）时流过各支路的电流。若将b?b和dd?断开，等效短路时如图所示。采用与上述一样
共22页 第 20 页
2019年第27届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案 doc
