全国中学生物理竞赛
?2?arccos???23?5?。 ???78.2?（或1.36弧度）6??（27）
评分标准：（3）式2分，（7）式3分，（12）~（15）式各1分，（16）式2分，（17）式1分，（18）式2分，（19）式1分，（20）~（22）式各1分，（26）、（27）式各1分。
四、（15分） 解法1：
以m表示质点B的质点，?表示连线BC与竖直方向的夹角，?表示转动角速度，fBC表示BC间排斥力的大小。根据牛顿定律有 fABsin?1?fBCsin??m?2ABsin?1，
（1） （2） （3） （4）
fABcos?1?fBCcos??0，
fACsin?2?fBCsin??m?2ACsin?2，
fACcos?2?fBCcos??0。
由（1）、（3）两式并利用（2）、（4）两式可得 fABsin??1???fACsin??2????ABsin?1ACsin?2。 （5）
考虑到几何关系 ABAC?sin??2???sin??1??? （6）
并利用已知fAB和fBC的表示式。可由（5）得到 ?AB???AC????a?2?sin?1 sin?2 （7）
又，由（2）、（4）式可得
fABcos?2。 ?fACcos?1 （8）
带入已知的fAB和fBC的表达式可得 ABAC???cos?2。 cos?1 （9）
联立（7）、（9）从而有
sin??1cos??2?1?sin??2cos??2?2。
（10）
如果?1≠?2，则意味着方程 sin??cos??2??C?0
（11）
π??在?0，?区间有两个不同的解，其中C为某一合适的常数。这要求函数sin??cos??2?在
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π??也就是说sin??和cos??2?不能同时为单调增函数或单调减函?0，?区间不能是单调函数，
2??数。因此当?增大时，若sin??增大，则cos??2?应减小；反之，若sin??减小，则cos??2?应增大，故?与??2同号。因此有
??0
a?2。
（12） （13）
对a?0，可知sin???cos2???在??0及
π?π?时均为零，因此sin??cos2???在?0，?区间一定
2?2?存在极值点，意味着方程（11）在C合适选取的情况下必有两个或两个以上的不同解。对a?2亦然。因此条件（12）、（13）是符合题意要求的充分必要条件。
评分标准：（1）~（4）式各1分，（6）式1分，（10）式6分，（12）、（13）式及其以下说明共4分。 解法2：
如图，设B、C间的排斥力是f，它们受到A的吸引力分别是fAB、fAC，向心力分别是fC1、fC2，距离A分别是r1、r2；根据三角形的相似关系，有
fABfC1f， ??r1ABBDfACff。 ?C2?r2ADCD
（1a） （2a）
以上两式相比可得 ffABr2CD ?C1?fACr1fC2BD （3a）
依题意有
fAB?r1????， fAC?r2?? （4a）
fC1EBr1sin?1， ??fC2FCr2sin?2 （5a）
CDAFr2cos?2， ??BDAEr1cos?1 （6a）
将（4a）~（6a）代入（3a）得
?r1????r2???1?r1sin?1r2cos?2。 ?r2sin?2r1cos?1 （7a）
由（7a）得
sin??1cos??2?1?sin??2cos??2?2。
（8a）
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之后的讨论与“参考解答1”相同。 评分标准：考虑“参考解答1”。
五、（15分）
以pa表示环境中大气的压强，则初始时装入容器的空气的压强为pa，温度为Ta，以Va表示其体积。当容器与冰山接触，达到平衡时，容器中空气的温度为T1，体积减小为V0，根据题意，空气经历的过程为等压过程，故有 V0Va ?T1Ta （1）
在这一过程中，容器中空气内能的增加量为 ?U?2.5pa?V0?Va?，
（2）
大气所考察空气做功为 W??pa?V0?va?
（3）
若以Q表示此过程中冰山传给容器中空气的热量，根据热力第一定律有 Q??U?W。
（4）
由以上四式得 ?T?TQ?3.5paVa?1a?Ta?? ? （5）
（5）式给出的Q是负的，表示在这一过程中，实际上是容器中的空气把热量传给冰山。 容器中空气的温度降至冰山温度后，又经一过等容升温过程，即保持体积V0不变，温度从T1升至环境温度Ta，并从周围环境吸热。若以p1表示所考虑空气的压强，则有 p1pa ?TaT1 （6）
设喷管的体积为u，当喷管中的气体第一次被喷出时，容器中空气的压强由p1降到p2；根据题目给出的条件，有 p1?V0?u??p2V0，
（7） （8）
即p2?p1V0?u V0喷出气体获得的动能 ?Ek1??p1?pa?u。
（9）
当喷管中的空气第二次喷出后，容器中空气压强由p2降到p3，根据题给出的条件可得 p3?p2V0?u V0 （10）
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喷出气体获得的动能 ?Ek2??p2?pa?u。
（11）
当喷管中的空气第N次被喷出后，容器内空气的压强由pN降到pN?1，根据题给出的条件可得 pN?1?pV0?uNV 0喷出气体获得的动能 ?E1k??pN?pa?u。
如果经过N次喷射后，容器中空气的压强降到周围大气的压强，即 pN?1?pa，
这时喷气过程终止，在整过喷气过程中，喷出气体的总动能。 Ek??Ek1??Ek2???EkN
利用（8）到（13）式，（15）式可化成 N?1E??V?u??V0?u?2??V??k?p1u??1??0?????0u????V0??V?0??V?0???Npau， ?（16）式等号右边第1项方括号内是N项的等比级数，故有 N1???V0?u?E?V?0?k?p1u? 1?VNpau。 0?uV0又，根据（8）、（10）、（12）、（14）各式可得
Np?V?u?1?0V??pa，
?0?对（18）式等式两边取自然对数得 Nln??1?u?p ?V??lna。0?p
1因uV0，可利用近似公式ln?1?x?≈x把（19）进一步化简，即
N?V0p1ulnp a进而由（17）、（18）、（20）三式得 E1k??p1?pa?V0?paV0lnpp a将（1）、（6）代入（21）式，可得
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（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
（21）
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?TTT?Ek?pava?1?1?1ln1?。
?TaTaTa? （22）
根据题意，这些动能可转化成的电能为 ?TTT?E?0.45paVa?1?1?1ln1?。
?TaTaTa? （23）
以上讨论表明，要获得电能E，冰山必须吸收?Q的热量，整座冰山化掉可吸收的总热量 Q1?mL。
（24）
因此可产生的总电量为 E1?mLE。 ?Q （25）
将（5）和（23）带入（25）式，得
E1?9mL701?T1T1T1?lnTaTaTa，
T11?Ta （26）
代入数据后有 E1?1.5?1014J
（27）
评分标准：（5）式3分，（7）式1分，（9）式2分，（17）式2分，（18）式1分，（22）式3分，（25）~（27）式各1分。
参考解答2：
以pa表示环境中大气的压强。设融化整座冰山可使n摩尔的空气参与如题所述的过程，且在过程?a?中体积和温度变化分别为?V和?T?T1?Ta，则在此过程中这部分气体放出的热量为
Q??pa?V?5pa?V。 2 （1）
其中右边第一项表示大气对系统做的功，第二项表示系统内能的变化，考虑到物态方程，有
7Q?nR?Ta?T1?，
2 （2）
这部分热量等于冰山融化吸收的熔解热，故 Q?mL，
（3）
因此联立（2）、（3）可得 n?2mL。
7R?Ta?T1? （4）
在气体等容吸热的过程?b?中，设最后达到压强p0，体积达到V0，则易得
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2019年第27届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案 doc
