全国中学生物理竞赛
利用上述光学器件设计一光学系统，使得一束很细的实心圆柱入射激光转化成一束空心的出射激光，且空腔为圆柱形，半径为r。请回答如下问题： 1．画出该光学系统的光路图。
2．求该光学系统中锥面镜顶点到球面镜球心的距离x。
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第27届全国中学生物理竞赛决赛试题答案
一、（25分）填空题
1． 4π2kR4π2k?M?2（6分）
2．
fVV?u，fVV?u（4分） 1?13．T?Mg??0?1??p?（0A6分）
?4．7.3?106m?s?1，2.8?108m?s?1，8.4?105V（9分）
p?h?
E?p2c2?m2ey Ek?eV?E?mec2
二、（20分）
1．令m表示物块的质量，物块在斜面上滑动的加速度
a?mgsin???1mgcos?m?g?sin???1cos??，
（1）
物块滑到斜面底端的速度 vah0?2sin??2gh?1??1cot???4.0m/s （2）
以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小
v?0?v20?V2?5.0m/s。
（3）
运动方向与传输带边缘的夹角?满足
tan??43。 （4）
物块在传输带上作减速运动，其加速大小为
a???2mgm??2g。
（5）
当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离 s??v?20v?22a?02?，
（6）
1g物块不超过传输带的边缘对应的最小摩擦系数?2应满足 s?sin??v?20sin?2??d
（7）
2g 因此可得
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?2sin?v0?2??0.5。
2gd （8）
2．物块对传输带的摩擦力大小 F??2??g?， v???v0?2g0 （9）
?的方向相同。从地面参照系来看，传送带速度为V，单位时间内物块对传输带所方向与v0做的功
W??FVcos?， （10）
因此负载所引起的附加功率 ?P??W??V2?640W。
（11）
考虑到无负载时电机的输出功率
2P0?I0E?I0R?360W。
（12）
有负载时电机的输出功率为 P?P0??P?1000W。
（13）
设有负载时的工作电流为I，则
P?IE?I2R， 解之得
（14）
I?10A。 （15）
评分标准：（2）式2分，（3）、（4）式共2分，（6）式2分，（7）式3分，（8）式1分，（9）式4分，（10）式2分，（13）式2分，（15）式2分。
三、（20分）
设轻杆的杆长为2l，当杆与水平线的夹角为?时，球1和球2的速度分别为v1和v2，杆转动的角速度为?。因机械能守恒，有
0?mglsin??2mglsin??又因 v1?v2?l?，
11?2m?v12?mv22。 22 （1）
（2）
可由（1）、（2）解得
??2gsin? 3l （3）
轻杆与两小球构成的系统对转轴的角动量 L?2mlv1?mlv2，
（4）
由角动量定律有
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2mglcos??mglcos???L。 ?t
（5）
根据角加速度?的定义
????， ?t （6）
由（2）、（4）、（5）、（6）各式得
??gcos?。 3l （7）
当两球都未脱离轻杆时，两球都绕转轴作圆周运动，球1的切向加速度和法向加速度分别为 alt?l? alt?l?
（8） （9）
以N1表示沿垂直于轻杆方向球1与杆的相互作用力的大小，以f1表示沿着轻杆方向球1与杆的相互作用力的大小，根据牛顿第二定律，有 2mgcos??N1?2malt， f1?2mgsin??2malt
（10） （11）
由（3）、（9）、（10）、（11）各式得
4N1?mgcos?。
3f1?10mgsin?。 3
（12） （13）
对2球作同样的分析，沿垂直于轻杆方向球2与杆的相互作用力的大小N2与沿着轻杆方向球2与杆的相互作用力的大小f2分别为
4 N2?mgcos?，
31f2?mgsin?。
3
（14） （15）
由（12）、（14）式可知，杆与小球1、杆与小球2的最大静摩擦力相等，而（13）、（14）式表明小球1与杆的摩擦力大于小球2与杆的摩擦力，故在转动过程中，小球1与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力，故小球1先滑动。设1球开始滑动时，细杆与水平线夹角为?1，则f1??1???N1??1?， 即
103mgsin?1??mgcos?1， 34 （16）
由（16）式并代入数据得
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?1?π。 6
（17）
当???1时，球1开始向外滑动。由于球1的初始位置紧靠轻杆末端，球1从开始滑动到脱离细杆的时间可忽略不计，因此球1脱离细杆与水平线夹角也为?1?π。 6球1一旦脱离轻杆，因轻杆没有质量，球2与轻杆间的相互作用立即消失，此后球2只受重力作用而作斜舞女运动，注意到（2）、（3）、（7）各式，抛出时的初速度 v0?l2gsin?13gl?。 3l3 （18）
初速度的方向与水平线的夹角
?0?ππ??1?。 23 （19）
在球2作抛体运动的过程中，球与轻杆间虽无相互作用，但球仍套在杆上，轻杆将跟着球运动，但不会干扰小球的运动。当球离转轴的距离再次等于l时，球2便脱离轻杆。建立如图所示的坐标系Oxy，根据斜抛运动规律可得任意t时刻（取球2开始作抛体运动的时刻为计时起点）球2的位置坐标 x??lcos?1?v0cos?0t，
（20） （21）
1y?lsin?1?v0sin?0t?gt2，
2球2脱离细杆时有 l2?x2?y2。
（22）
利用（17）、（18）、（19）各式得 ?2l2l?t2?t?2t?????0， g3g?? （23）
从而解得
?15?lt??1????g。 3?? （24）
此时
?23?5l?x???6。 ??y??2?15l?6? （25）
设球2脱离细杆时细杆与水平线夹角也为?2（如图），则 cos?2?xl?23?5， 6 （26）
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2019年第27届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案 doc
