辽宁省葫芦岛市第八高级中学高中数学 3.2立体几何中的向量方法(1)导学案（无答案）新人教A版选修2-1

3.2立体几何中的向量方法（1）

学习目标 1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;

2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题． 学习过程 一、课前准备 （预习教材P102~ P104，找出疑惑之处）

复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？

复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？

复习3：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，

a·b＝

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面

问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？

新知：

⑴ 点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量uuuruuurOP来表示，我们把向量OP称为点P的位置向量. ⑵ 直线：

① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.

uuuruuur② 对于直线l上的任一点P,存在实数t，使得AP?tAB，此方程称为直线的向量参数方程.

⑶ 平面：

rr① 空间中平面?的位置可以由?内两个不共线向量确定.对于平面?上的任一点P,a,buuurrr是平面?内两个不共线向量，则存在有序实数对(x,y),使得OP?xa?yb.

② 空间中平面?的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.

rr⑷ 平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面?，则称这个向量n垂

rr直于平面?,记作n⊥?，那 么向量n叫做平面?的法向量.

试试： .

rrrr1.如果a,b都是平面?的法向量，则a,b的关系 .

rrrr2.向量n是平面?的法向量，向量a是与平面?平行或在平面内，则n与a的关系是 .

反思：

1. 一个平面的法向量是唯一的吗？ 2. 平面的法向量可以是零向量吗？

⑸ 向量表示平行、垂直关系：

rrrr设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面?,? 的法向量分别为u,v，则

rrrr① l∥m?a∥b?a?kb

rrrr ② l∥??a?u?a?u?0

rrrr ③ ?∥??u∥v?u?kv.

※ 典型例题

例1 已知两点A?1,?2,3?,B?2,1,?3?,求直线AB 与坐标平面YOZ的交点.

uuuruuur变式：已知三点A?1,2,3?,B?2,1,2?,P?1,1,2?,点Q在OP上运动（O为坐标原点）,求当QA?QB取得最小值时,点Q的坐标.

小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.

例2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

变式：在空间直角坐标系中,已知A?3,0,0?,B?0,4,0?,C?0,0,2?,试求平面ABC的一个法向量.

小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.

※ 动手试试

rr练1. 设a,b分别是直线l1,l2的方向向量，判断直线l1,l2的位置关系：

rr⑴ a??1,2,?2?,b???2,3,2?；

rr⑵ a??0,0,1?,b??0,0,3?.

rr练2. 设u,v分别是平面?,?的法向量，判断平面?,?的位置关系：

rr⑴ u??1,2,?2?,v???2,?4,4?；

rr⑵ u??2,?3,5?,v???3,1,?4?.

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 空间点，直线和平面的向量表示方法 2. 平面的法向量求法和性质.

※ 知识拓展：

求平面的法向量步骤：

rn⑴设平面的法向量为?(x,y,z)；

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标； ⑶根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组； ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

rra?2,?1,?2,b1. 设则直线l1,l2的位置关系是 . ????6,?3,?6?分别是直线l1,l2的方向向量，rr2. 设u???2,2,5?,v??6,?4,4?分别是平面?,?的法向量，则平面?,?的位置关系是 .

r3. 已知n??，下列说法错误的是（ ）

rrA. 若a??，则n?a B.若a//?，则n?a

ururrurrurC.若m??,，则n//m D.若m??,，则n?m 4.下列说法正确的是（ ） A.平面的法向量是唯一确定的

B.一条直线的方向向量是唯一确定的

C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量

ururD.若m是直线l的方向向量，l//?，则m//?

uuuruuur5. 已知AB??1,0,?1?,AC??0,3,?1?，能做平面ABC的法向量的是（ ）

?1?A. ?1,2,1? B.?1,,1? C.?1,0,0? D. ?2,1,3?

?3? uuuur1. 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求证：DB1是平面ACD1的一个法向量.

课后作业

uuuruuur2．已知AB??2,2,1?,AC??4,5,3?，求平面ABC的一个法向量.