又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.
考点四 平面向量的垂直
【典例4】(2018·北京卷)设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝________. 【答案】－1
【解析】(1)a＝(1，0)，b＝(－1，m)，∴a2＝1，a·b＝－1， 由a⊥(ma－b)得a·(ma－b)＝0，即ma2－a·b＝0. ∴m－(－1)＝0，∴m＝－1.
【方法技巧】平面向量的垂直问题，有两个类型： (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。
(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。
―→―→―→―→―→【变式4】(2019·黑龙江省齐齐哈尔市一中模拟)已知向量|OA|＝3，|OB|＝2，OC＝mOA＋nOB，m―→―→―→―→若OA与OB的夹角为60°，且OC⊥AB，则实数的值为( )
n
11A. B. 64
C．6 【答案】A
―→―→―→―→―→―→―→―→―→【解析】∵向量|OA|＝3，|OB|＝2，OC＝mOA＋nOB，OA与OB的夹角为60°，∴OA·OB＝3×2×cos 60°＝3，
D．4
―→―→―→―→―→―→∴AB·OC＝(OB－OA)·(mOA＋nOB) ―→―→―→―→＝(m－n)OA·OB－m|OA|2＋n·|OB|2 ＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0， m1
∴＝，故选A. n6
考点五 平面向量与三角函数
【典例5】(2017·江苏卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值． 【答案】见解析
【解析】(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，a∥b，所以－3cos x＝3sin x．若cos x＝0，则sin x＝0与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cos x≠0.于是tan x＝－
35π
.又x∈[0，π]，所以x＝. 36
ππ
x＋?.因为x∈[0，π]，所以x＋(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－3)＝3cos x－3sin x＝23cos??6?6π7π?π3πππ5π
，，从而－1≤cos?x＋?≤.于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋＝π，即x＝∈??66??6?26666时，f(x)取到最小值－23.
【方法技巧】向量与三角函数综合问题的特点与解题方法
(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．
(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．
(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误．
【变式5】(2019·广东省广州海珠区摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A3－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
5
(1)求sin A的值；
→→
(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影. 3
【解析】(1)由m·n＝－，
5
3
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
53
所以cos A＝－.因为0 5 所以sin A＝1－cos2A＝ 34－?＝. 1－??5?5 2ab (2)由正弦定理，得＝， sin Asin B45×5bsin A2 则sin B＝＝＝， a422 π 因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝. 4 ?－3?， 由余弦定理得(42)2＝52＋c2－2×5c×?5?解得c＝1，c＝－7舍去， 22→→→ 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝ccos B＝1×＝. 22
2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题5-3：平面向量的数量积（讲）
