专题5.3 平面向量的数量积
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题； 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
知识点一 向量的夹角
定义 已知两个非零向量a和b，―→―→作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是a与b的夹角
知识点二 平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 图示 范围 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180° 共线与垂直 θ＝0°或θ＝180°?a∥b，θ＝90°?a⊥b 投影 几何意义
知识点三 向量数量积的运算律
交换律 分配律 数乘结合律 知识点四 平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论 几何表示 坐标表示 a·b＝b·a (a＋b)·c＝a·c＋b·c (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 模 夹角 a⊥b的充要条件 |a·b|与|a||b|的关系 知识点五 必备结论
|a|＝a·a a·bcos θ＝ |a||b|a·b＝0 |a·b|≤|a||b| 2|a|＝x21＋y1 cos θ＝x1x2＋y1y2222x21＋y1·x2＋y2 x1x2＋y1y2＝0 |x1x2＋y1y2|≤ 2x21＋y12x22＋y2 1．平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2) (a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论：
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立)． (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立)．
考点一 平面向量的数量积
→→→→→
【典例1】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝( ) A．－3 C．2 【答案】C
→→→→→
【解析】因为BC＝AC－AB＝(1，t－3)，所以|BC|＝1＋（t－3）2＝1，解得t＝3，所以BC＝(1，0)，→→
所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2，故选C.
【举一反三】 (2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( ) A．4 C．2 【答案】B
【解析】a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b. ∵|a|＝1，a·b＝－1， ∴原式＝2×12＋1＝3.
【方法技巧】求非零向量a，b的数量积的方法技巧
直接法 若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算 根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解 B.3 D．0
B．－2 D．3
几何法 坐标法 若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解 →→→
【变式1】 (2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM＝2MA，CN→→→＝2NA，则BC·OM的值为( )
A.－15 【答案】C
→→→→→→→→→→→
【解析】连接OA.在△ABC中，BC＝AC－AB＝3AN－3AM＝3(ON－OA)－3(OM－OA)＝3(ON－OM)， →→→→→→→→∴BC·OM＝3(ON－OM)·OM＝3(ON·OM－OM2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6. 考点二 平面向量的模
【典例2】(2019·湖南省衡阳八中模拟)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC→→
＝1，P是腰DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________.
【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，
B.－9
C.－6
D.0
设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b).
→→
所以PA＋3PB＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)， →→
所以|PA＋3PB|＝25＋（3b－4y）2(0≤y≤b)， 3→→
所以当y＝b时，|PA＋3PB|取得最小值5.
4【答案】5
【方法技巧】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.
2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.
【变式2】 (2019·吉林省长春一中质检)已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.
【答案】2
【解析】由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为
2π
，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b23
2π2π2π
＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos＋2×1×3×cos＋2×1×3×cos＝4，所以|a＋b＋c|＝2.
333
考点三 求向量的夹角
【典例3】【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足|a|?2|b|，且(a?b)?b，则a与b的夹角为（ ）
π 62πC．
3A．【答案】B
π 35πD．
6B．
2【解析】因为(a?b)?b，所以(a?b)?b?a?b?b=0，所以a?b?b2，所以
a?b|b|21π??ab，所以与的夹角为，故选B． cos?=
a?b2|b|223【举一反三】(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－5b，则cos〈a，c〉＝________．
2【答案】
3
22
【解析】设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－5)，所以cos〈a，c〉＝＝.
1×4＋53【方法技巧】求向量的夹角，有两种方法：
(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，a·b由cos θ＝求得．
|a||b|
(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝
，〈a，b〉∈[0，π]． 2·x2＋y2
x2＋y1122x1x2＋y1y2
【变式3】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________. (2) (2017·全国Ⅰ卷)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 【答案】 (1)2 (2)23 【解析】(1)由a⊥b，得a·b＝0， 又a＝(－2，3)，b＝(3，m)， ∴－6＋3m＝0，则m＝2.
(2)法一 |a＋2b|＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2 ＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝23. 法二 (数形结合法)
→
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC|.
2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题5-3：平面向量的数量积（讲）
