1.2 类比推理
学习目标 1.了解类比推理的含义，能进行简单的类比推理.2.正确认识合情推理在数学中的重要作用.
知识点一 类比推理
思考1 由正三角形的性质，可以推测出正四面体的哪些性质？ 答案 正四面体的四个面全等.
思考2 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等.由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理？ 答案 类比推理.
梳理 类比推理的定义及特征
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象定义 的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理 特征
知识点二 合情推理
思考1 归纳推理与类比推理有何区别与联系？
答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理.
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假. 思考2 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
答案 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确. 梳理 合情推理的定义及分类
定义：根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式. 分类：常见的合情推理有归纳推理与类比推理.
①类比推理是两类事物特征之间的推理； ②利用类比推理得出的结论不一定是正确的
类型一 数列中的类比推理
例1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比T16以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数
T12列. 答案
T8T12 T4T8
解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列.
下面证明该结论的正确性：
设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，
461则T4＝b1q，T8＝b81q121T12＝b1q161T16＝b1q
＋2＋…＋11
＋2＋…＋7
28
＝b81q，
1266
＝b1q， 120＝b161q，
＋2＋…＋15
T822T1238
∴＝b4q，＝b411q， T4T8T16454
＝bq， T121
T8T12T12T8T16即()2＝·T4，()2＝·， T4T8T8T4T12T8T12T16故T4，，，成等比数列.
T4T8T12
反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d，q分别是公差和公比)：
定义 通项公式 性质
a1＋a2＋…＋an跟踪训练1 若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N＋)也是等差
n数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0，则有数列dn＝________(n∈N＋)也是等比数列.
等差数列 an－an－1＝d(n≥2) an＝a1＋(n－1)d 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 等比数列 an÷an－1＝q(n≥2) an＝a1qn1 －若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
n
答案
c1c2c3…cn
a1＋a2＋…＋an
解析 数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N＋)也是等差数列.类
n
n
比猜想：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn＝c1c2c3…cn时，数列{dn}也是等比数列.
类型二 几何中的类比推理
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
解 如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.
类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股
22定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S2＋S3成立.
反思与感悟 (1)类比推理的一般步骤
(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：
平面图形 点 直线 边长 面积 空间图形 直线 平面 面积 体积
三角形 线线角 四面体 面面角 跟踪训练2 如图，已知点O是△ABC内任一点，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于点A′，B′，C′，求证：
OA′OB′OC′
＋＋＝1. AA′BB′CC′
OA′OB′OC′S△OBCS△OCAS△OABS△ABC
证明：＋＋＝＋＋＝＝1.
AA′BB′CC′S△ABCS△ABCS△ABCS△ABC
现运用类比的思想，对于空间中的四面体V－BCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明.
解
OV′OB′OC′OD′
＋＋＋＝1，其中点V′，B′，C′，D′分别为V，B，C，D与VV′BB′CC′DD′
点O(四面体内一点)相连并延长后与对面的交点. 证明如下：
VO－BCDOV′VO－VCDOB′因为＝，＝，
VV－BCDVV′VB－VCDBB′VO－VBDOC′VO－VBCOD′
＝，＝， VC－VBDCC′VD－VBCDD′
OV′OB′OC′OD′VO－BCDVO－VCDVO－VBDVO－VBCVV－BCD
所以＋＋＋＝＋＋＋＝＝1.
VV′BB′CC′DD′VV－BCDVB－VCDVC－VBDVD－VBCVV－BCD类型三 定义、定理或性质中的类比
例3 类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质. 解 (1)两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量. (2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律. 即a＋b＝b＋a，a＋b＝b＋a，
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算. 即a＋x＝0与a＋x＝0都有唯一解，即x＝－a与x＝－a.
(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a＋0＝a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a＋0＝a.
反思与感悟 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，例如实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位.因此我们可以从这四个方面进行类比.
an－am
跟踪训练3 已知等差数列{an}的公差为d，am，an是{an}的任意两项(n≠m)，则d＝，n－m类比上述性质，已知等比数列{bn}的公比为q，bm，bn是{bn}的任意两项(n≠m)，则q＝________.
1bnn?答案 ()m
bm1bnn?，∴q＝()m.
bm解析 ∵bn＝bmq
n－m
1.下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A.三角形 C.平行四边形 答案 C
解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
2.下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )
A.若“a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b” B.“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc” a＋babC.“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“＝＋(c≠0)”
cccD.“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn” 答案 C
解析 显然A，B，D不正确，只有C正确.
3.等差数列{an}具有性质an＋an＋2＝2an＋1，则由类比推理得等比数列{an}具有性质( ) A.an＋an＋2＝2an＋1 B.an＋an＋2＝a2n＋1 C.anan＋2＝2an＋1 D.anan＋2＝a2n＋1 答案 D
解析 等差数列的加法类比等比数列的乘法.
4.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积的比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积的比为________. 答案 1∶8
B.梯形 D.矩形
2018版数学北师大版选修2-2学案：第一章 推理与证明 推理与证明 1-2 含答案 精品
