第16讲 因式分解的方法—配方法和拆添项法
知识要点：拆项或添项是将原多项式配上某些需要的项，创造能因式分解的条件。配方法则是通过拆项或添项，把一个式子写成完全平方式或几个完全平方式和的形式。
补充公式：a?b?(a?b)(a?ab?b) a?b?(a?b)(a?ab?b)
33223322A卷
一、填空题
1、分解因式：x3?9x?8?_______________.（拆项法）
2、分解因式：x4?x2?2ax?1?a2?_______________.（添项法） 3、分解因式：x5?x?1?____________________.（添项法）
4、（“希望杯”初二试题）分解因式：a4?2a3b?3a2b2?2ab3?b4?_____________. 5、（天津市竞赛试题）已知x2?y2?z2?2x?4y?6z?14?0，则x?y?z?____. 6、（“希望杯”初二竞赛试题）已知x?则x?y?____或 .（配方法）
二、选择题
7、（“五羊杯”竞赛试题）若x是自然数，设y?x4?2x3?2x2?2x?1，则（ ） A、y一定是完全平方数 B、存在有限个x，使y是完全平方数 C、y一定不是完全平方数 D、存在无限个x，使y是完全平方数
8、若a、b、c满足a2?b2?c2?9，则代数式?a?b???b?c???c?a?的最大值是（ ）
222a?ba?b，y?（a??b），且19x2?143xy?19y2?2005，a?ba?bA、27 B、18 C、15 D、12
B卷
一、填空题
9、（全国联赛）已知
1?b?c?2??a?b??c?a?，且a?0，则b?c?_________.（配方法） 4a10、整数a、b满足6ab?9a?10b?303，则a?b?________.（拆项法）
11、正数a、b、c满足3?a2?b2?c2?ab?3b?2c?1，则a?_____，b?_____，c?_____.
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二、选择题
12、（“五羊杯”竞赛试题）a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是（ ） A、若a2?b2?c2?ab?bc?ac，则 a?b?c B、若a3?b3?c3?3abc，则 a?b?c
C、若a4?b4?c4?d4?2?a2b2?c2d2?，则 a?b?c?d D、若a?b?c?d?4abcd，则 a?b?c?d 4444
三、解答题 13、分解因式：
（1）x4?7x2?1
（3）x3?5x2?3x?9（拆项配方）
（5）4x3?31x?15（拆项配方法） 2）a2?b2?4a?2b?3（郑州市竞赛题）（拆项配方） （4）x3?2x2?5x?6（重庆市竞赛题）（拆项配方） （6）?c?a?2?4?b?c??a?b?
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（
C卷
一、解答题
14、（ “希望杯”初二年级培训题）求最大正整数N，使得250?41015?16N是是一个完全平方数。
15、（全国数学联赛）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是?mn?9m?11n?145?元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数。
双十字相乘法
例、分解因式2x?7xy?22y?5x?35y?3
2222x2x2y-11y-31小结：用双十字相乘法对多项式ax?bxy?cy?dx?ey?f进行因式分解的步骤是： (1)用十字相乘法分解ax?bxy?cy，得到一个十字相乘图(有两列)；
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx． 练习 分解因式：
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(1)x2?3xy?10y2?x?9y?2；
(2)x2?y2?5x?3y?4；
(3)xy?y2?x?y?2；
(4)6x2?7xy?3y2?xz?7yz?2z2．
双十字相乘法答案：
例.(x?2y?3)(2x?11y?1) (1)(x?2y?1)(x?5y?2) (2)(x?y?1)(x?y?4) (3)(y?1)(x?y?2) (4)(2x?3y?z)(3x?y?2z)
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参考答案
A组
1.答案：?x?1??x2?x?8?
解析：原式?x3?x?8x?8?x?x2?1??8?x?1??x?x?1??x?1??8?x?1???x?1??x2?x?8? 提示：本题的关键是将?9x拆为?x和?8x. 2. 答案：?x2?x?1?a??x2?x?a?1?
解析：原式?x4?2x2?1?x2?2ax?a2??x2?1???x?a???x2?x?1?a??x2?x?a?1?
22提示：本题的关键是将通过添加x2，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。 3. 答案：?x2?x?1??x3?x2?1?
解析：原式?x5?x2?x2?x?1?x2?x3?1???x2?x?1??x2?x?1??x2?x?1???x2?x?1? ?x2?x?1x3?x2?1
????提示：本题的关键是将通过添加x2，构造立方差公式，进而提取公因式分解。 4. 答案：?a2?b2?ab?
2解析：原式??a4?2a2b2?b4???2a3b?2ab3??a2b2??a2?b2??2ab?a?b???ab??
22?a2?b2?ab
?2提示：本题的关键是将通过拆项3a2b2，构造完全平方公式。（拆项法） 5. 答案：2
解析：由题意得：x2?2x?1?y2?4y?4?z2?6z?9?0 ??x?1???y?2???z?3??0
222?x?1，y??2，z?3
?x?y?z?2
提示：本题的关键是将通过拆项14，构造完全平方公式。（配方法） 6. 答案：?10 解析：由xy?1?y?1 x211?19?19x?143xy?19y?19x?143?2?2005?x2?2?98??x???2?98
x?xx?222故x?1??10 x提示：本题的关键是将利用x、y的倒数关系代换，然后配方。
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第16讲（竞赛选讲）因式分解之添项拆项，双十字相乘精选
