2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．(2)从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
知识点 二次函数与一元二次方程、不等式的解 的对应关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1 (1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax＋bx＋c>0(≥0)或ax＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集． 对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p 2 2 2 2 1 p)(x－q)>0，则x>q或x [教材解难] 教材P50思考 能．可以从2个角度来看 ①函数的角度：一元二次不等式ax＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围． ②方程的角度：一元二次不等式ax＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根． 2 2 2 2 2 [基础自测] 1．下列不等式中是一元二次不等式的是( ) 122 A．ax＋2≥0 B.2<3 xC．－x＋x－m≤0 D．x－2x＋1>0 解析：选项A中，a＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合． 答案：C 2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( ) A．[－1，＋∞) B．[－1,0) C．(－∞，－1] D．[－1,0] 解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D. 答案：D 3．函数y＝17－6x－x2 2 23 的定义域为( ) A．[－7,1] B．(－7,1) C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) 2 D．(－∞，－7)∪(1，＋∞) 解析：由7－6x－x>0，得x＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7 4．不等式1＋2x＋x≤0的解集为________． 解析：不等式1＋2x＋x≤0化为(x＋1)≤0，解得x＝－1. 答案：{－1} 题型一 解不含参数的一元二次不等式[教材P52例1、2、3] 例1 (1)求不等式x－5x＋6>0的解集． (2)求不等式9x－6x＋1>0的解集． (3)求不等式－x＋2x－3>0的解集． 【解析】 (1)对于方程x－5x＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x1＝2， 2 22 2 2 2 22 2 x2＝3. 画出二次函数y＝x－5x＋6的图象(图1)，结合图象得不等式x－5x＋6>0的解集为{x|x<2，或x>3}． 12 (2)对于方程9x－6x＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝. 3画出二次函数y＝9x－6x＋1的图象(图2)，结合图象得不等式9x－6x＋1>0的解集为 ??1??x?x≠?3??? 2 2 2 2 3 (3)不等式可化为x－2x＋3<0. 2 2 因为Δ＝－8<0，所以方程x－2x＋3＝0无实数根． 画出二次函数y＝x－2x＋3的图象(图3)． 结合图象得不等式x－2x＋3<0的解集为?. 因此，原不等式的解集为?. 因为方程x－5x＋6＝0的根是函数y＝x－5x＋6的零点，所以先求出x－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x－5x＋6>0的解集． 教材反思 我们以求解可化成ax＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程． 22 2 2 2 22 跟踪训练1 解下列不等式： (1)x－7x＋12>0； 2 4 (2)－x－2x＋3≥0； (3)x－2x＋1<0； (4)－2x＋3x－2<0. 解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x－7x＋12＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝4.再根据函数y＝x－7x＋12的图象开口向上，可得不等式x－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}． (2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x＋2x－3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2 2 2 2 2 2 22 2 ＋2x－3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝1.再根据函数y＝x＋2x－3的图象开口向上，可得不等式－x－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}． (3)因为Δ＝0，所以方程x－2x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝1.再根据函数y＝x－2x＋1的图象开口向上，可得不等式x－2x＋1＜0的解集为?. (4)原不等式可化为2x－3x＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. 状元随笔 结果 题型二 三个“二次”之间的关系[经典例题] 例2 已知关于x的不等式ax＋bx＋c>0的解集为{x|2 【解析】 方法一 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 函数 化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x1，x2――→ 图象 bacab－5 ，c6 ba51112222 故不等式cx＋bx＋a<0，即x＋x＋>0，即x－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cxcc6632 1??1??＋bx＋a<0的解集为?－∞，?∪?，＋∞?. 3??2?? 方法二 由不等式ax＋bx＋c>0的解集为{x|2 2 2 2 ＋bx＋c＝0的两根，所以ax＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax－5ax＋6a?b＝－5a，c＝6a， ?1??1?22 故不等式cx＋bx＋a<0，即6ax－5ax＋a<0?6a?x－??x－?<0，故原不等式的解集为 ?3??2??－∞，1?∪?1，＋∞?. ???3????2? 状元随笔 由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a，b，c的方程组→ 用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx＋bx＋a<0的解集 2 5
新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式
