2.4 函数的奇偶性
学习目标:
1.了解函数奇偶性、周期性的含义. 2.会判断奇偶性,会求函数的周期.
3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题. 重点难点:函数奇偶性和周期性的应用 一、知识要点 1、函数奇偶性定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数; 如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数; 如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)既不是奇函数也不是偶函数; 如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数.
2、函数奇偶性的判定方法:定义法、图像法 (1)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ①首先确定函数的定义域是否关于原点对称; ②确定f(-x)与f(x)的关系; ③作出相应结论:
若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数; 若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
② 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,定义域关于原点对称.
(2)利用图像判断函数奇偶性的方法:
图像关于原点对称的函数为奇函数,图像关于y轴对称的函数为偶函数.
3、函数奇偶性的性质:
奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性.
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二、例题精讲
题型1: 函数奇偶性的判定 1.判断下列函数的奇偶性: ① f(x)?(x?1)
2??x?x(x?0)22③f(x)?? ④ f(x)?x?11?x2??x?x(x?0)1?x, ②f(x)?9?x2, 1?x
变式:设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数:
① y=-|f(x)|; ②y=xf(x); ③y=-f(-x); ④y=f(x)-f(-x). 必为奇函数的有_ __(要求填写正确答案的序号)
题型2: 函数奇偶性的证明
1.已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证:f(x)是奇函数.
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题型3: 函数奇偶性的应用
1.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m) 变式1:已知函数f(x)是偶函数,而且在(0,??)上是减函数,判断f(x)在(??,0)上是增 函数还是减函数 变式2:函数y?f(x)是R上的偶函数,且在(??,0]上是增函数,若f(a)?f(2),则实数 a的取值范围是 三、巩固练习 1.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中是奇函数的是 . ①y=f(|x|); ②y=f(-x); ③y=x·f(x); ④y=f(x)+x. 2.设函数若函数f(x)?(k?2)x?(k?1)x?3是偶函数,则f(x)的递减区间是 . 3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x-2x,则在x<0上f(x)的表达式为 . 4.设f(x)=ax+bx+cx-5(a,b,c是常数)且f(?7)?7,则f(7)= . 5.若函数f(x)?2x?b的图象关于原点对称,则实数b应满足的条件是 . 6.已知函数f(x)?ax?bx?1,常数a、b?R,且f(4)?0,则f(?4)? . 7.y?f(x)在???,0?内为减函数,又f(x)为偶函数,则f(?3)与f(2.5)的大小关系为 . 32 253 3 8.已知函数f(x)?ax2?bx?c是定义在?2a,1?a?上的偶函数,则a? , b?________. 9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x?0时,f(x)?x2?2x,则f(1)? . 10.判断下列函数的奇偶性 3①y?x?1; ②y?2x?1?1?2x; ③y?x4?x; x 11.已知函数y?f(x)是定义在实数集R上的偶函数,当x?0时,f(x)?x2?2x?3. (1)写出函数y?f(x)的表达式; (2)作出y?f(x)的图象; (3)指出函数的单调区间及单调性. (4)求函数的最值. 4
函数的奇偶性知识点总结及练习
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