3.4系列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变
换、傅里叶变换的关系
序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
拉普拉斯变换 X?a(s)?LT?x(t)?????x(t)e?stdts???j?
拉普拉斯逆变换 x(t)?LT?1?X??j?a(s)?????j?x(t)estdt s?j?
傅里叶变换 X(j?)?FT?x(t)????x(t)e?j?t??dt
傅里叶逆变换 x(t)?FT?1?X(j?)????j???X(j?)etd?
序列x(n)的Z变换 X(z)?n)z?nn??x(???
逆Z变换 x(n)?1?n?2?jcX(z)z1dz,n?0,?1,?2,?
抽样信号的拉普拉斯变换
X?s)?LT??x???a(?a(t)??????xa(t)e?st?dt ???????xa?nT???t?nT?e?stdtn??? ????nT?e?stdtn???????xa?nT???t
???nsTa?nT?en?x???
1
抽样序列的z变换为 X(z)sT?X(esT)?Xa(s)z?e
X(z)?ZT?x?n????n????x?n?z??n3.4.1拉氏变换与Z变换变换的关系就是复变量s平面到复变量z平面的映射：
z?esTs?1lnzT令 s=?+j?, z=rej? 得到： rej? =e(?+j?)T=e?Tej?T , 因而 r=e?T， ?=?T
3.4.2 ?= ?T
?=0 、?/T 、3?/T、 ?0与?的对应关系 ?变化时与?的对应关系
s平面到z平面的映射是多值映射。
（傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即s＝jΩ，因而映射
X(z)z?esT??s??X(esT)?Xa(2.89)到z平面上为单位圆，代入 抽样序列的z变换
2
得
X(z)z?ej?T?(j?)?X(ej?T)?Xa(2.94)取样序列在单位圆上的Ｚ变换，等于其理想取样信号的傅里叶变换 。 3.4.3. 抽样序列x(n)的z变换X(z)和连续信号xa(t)的拉普拉斯变
换X?a(s)的关系。 Xa?j???1Tk??Xa?j??k?s????
3.4.4采样定理
延拓到整个复平面?1?Xa?s??sTT?X a?s?jk?s?X(z)z?esT?X(e)?X?a(s)k??? X?z?z?1T??X?1?2??eSTa?s?jks???Xa????s?jTk?
k???Tk????*抽样序列的z变换就等于抽样信号的拉普拉斯变换。 *Z变换是连续信号的拉普拉斯变换过渡到离散信号上
3
3.4.5 抽样序列x(n)的z变换X(z)和连续信号xa(t)的傅里叶变换Xa(j?)的关系。 X?z? X(z)
1 X(z)j??X(e)?z?ej?z?eST1?1?2?????Xa?s?jk?s???Xa?s?jk?Tk???Tk???T??抽样序列在单
位圆上的z变换， 就等于其理想抽样信号
s?j?,??0?z?ej?T?X(ej?T1?2???)?Xa(j?)??Xa?j??jk?Tk????T????T,r?1单位圆上的z变换是和信号的频谱相
联系的，因而常称单位圆上的z变换为序列的傅里叶变换。
???2?k?X?a?jT?Tk??????j?序列的傅里叶变换 DTFT?x?n???X?e???x?n?en?????j?n*单位抽样响应的傅里叶变换称为系统频率响应
*对于线性移不变系统，输出系列的傅氏变换等于输入系列的傅氏变 换和频率响应的乘积。
4
3.5利用Z变换分析信号和系统的频域特性
离散系统的系统函数、系统的频率响应 对线性移不变系统：
?Y(z)H(z)??ZT?h(n)???h(n)z?nX(z)n???Y(z)?X(z)?H(z)y(n)?x(n)?h(n)性移不变系统的系统函数可见，H(z)与h(n)是一对z变换
例：因果离散时间系统的差分方程y(n)-3y(n-1)+2y(n-2)=
x(n)+2x(n-1)，求单位脉冲响应h(n)。
解：设初始状态为零，对差分方程进行z变换
展开为部分分式
H?z???3z4z?z?1z?2Y(z)?3z?1Y(z)?2z?2Y(z)?X(z)?2z?1X(z)Y(z)1?2z?1z2?2zH(z)???2?1?2X(z)1?3z?2zz?3z?2h(n)?(?3?4?2n)u(n)h(n)为因果序列。对H(z)取逆z变换，得
线性移不变系统的频率响应 H(e)?
5
j?n????h(n)e??j?n
数字信号处理第三章总结
