这是关于Rx的四次方程，用数值方法求解可得
Rx?4.7Re?3.0?104km （13） 【Rx亦可用开普勒第二定律和能量守恒定律求得.令ve表示卫星与赤道相切点即近地点的速率，则有
2Reve?Rx?
和
1GMm1GMm2 mve??m(Rx?)2?2Re2Rx由上两式联立可得到方程
?Rx??Rx?2GMRx2GM?23?0 ??????23?Re??Re??ReRe?Re其中除Rx外其余各量均已知, 因此这是关于Rx的五次方程. 同样可以用数值方法解得Rx.】
卫星从脱离太空电梯到与地球赤道相切经过了半个周期的时间，为了求出卫星运行的周期T?，设椭圆的半长轴为a?，半短轴为b?，有
R?Re a??x (14)
2?R?Re? b??a?2??x? (15) 2??253因为面积速度可表示为
?s??所以卫星的运动周期为
T???ab (17)
?s???12Rx? (16) 2代入相关数值可得
T??6.8h (18) 卫星与地球赤道第一次相切时已在太空中运行了半个周期，在这段时间内，如果地球不转动，卫星沿地球自转方向运行180度，落到西经(180??110?)处与赤道相切. 但由于地球自转，在这期间地球同时转过了?T?/2角度，地球自转角速度??360?/24h?15?/h，因此卫星与地球赤道相切点位于赤道的经度为西经
?T???180??110???121? （19）
2即卫星着地点在赤道上约西经121度处.
评分标准： 本题23分.
第1问16分，第i小问8分，(1)、(2)式各2分，（4）式2分，（5）式和结论共2分.第ii小问8分，（9）、（10）式各2分，说出在0-12小时时间段内卫星不可能与太空电梯相遇并给出正确理由共2分，说出在12-24小时时间段内卫星必与太空电梯相遇并给出正确理由共2分.
第2问7分，(11)式1分， (13)式2分，（18）式1分，（19）式3分. （数值结果允许有5%的相对误差）
6
三、（25分）如图所示，两根刚性轻杆AB和BC在
B段牢固粘接在一起，AB延长线与BC的夹角?为
锐角，杆BC长为l，杆AB长为lcos?。在杆的A、B和C三点各固连一质量均为m的小球，构成一刚性系统。整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板，杆AB延长线与挡板垂直。现使该系
统以大小为v0、方向沿AB的速度向挡板平动。在某时刻，小球C与挡板碰撞，碰撞结束时球C在垂直于挡板方向的分速度为零，且球C与挡板不粘连。若使球C碰撞后，球B先于球A与挡板相碰，求夹角?应满足的条件。
解：
解法一
如图1所示，建直角坐标Oxy，x轴与挡板垂直，y轴与挡板重合. 碰撞前体系质心的速度为v0，方向沿x轴正方向，以P表示系统的质心，以vPx和vPy表
示碰撞后质心的速度分量，J表示墙作用于小球C的A 冲量的大小. 根据质心运动定理有
?J?3mvPx?3mv0 （1） B y ?P O x 0?3mvPy?0 （2）
由（1）和（2）式得
3mv0?J vPx? （3）
3m vPy?0 （4）
? lCP C 可在质心参考系中考察系统对质心的角动量. 在球
图1 C与挡板碰撞过程中，质心的坐标为
xP??lco?s （5）
1? （6） yP??lsin3球C碰挡板前，三小球相对于质心静止，对质心的角动量为零；球C碰挡板后，质心相对质心参考系仍是静止的，三小球相对质心参考系的运动是绕质心的转动，若转动角速度为?，则三小球对质心P的角动量
222 L?m?lAP （7）?m?lBP?m?lCP式中lAP、lBP和 lCP分别是
A、B和C三球到质心P的距离，由图1可知
1222?l2cos??lsin?2 （8） lAP
97
12lBP?l2sin2? （9）
942lCP?l2cos2??l2sin2? （10）
9由（7）、（8）、（9）和（10）各式得
2L?ml2?(1?2cos2?) （11）
3在碰撞过程中，质心有加速度，质心参考系是非惯性参考系，在质心参考系中考察动力学问题时，必须引入惯性力. 但作用于质点系的惯性力的合力通过质心，对质心的力矩等于零，不影响质点系对质心的角动量，故在质心参考系中，相对质心角动量的变化仍取决于作用于球C的冲量J的冲量矩，即有
2 Jlsin??L （12）
3【也可以始终在惯性参考系中考察问题，即把桌面上与体系质心重合的那一点作为角动量的参考点，则对该参考点(12)式也成立】
由（11）和（12）式得
Jsin? (13) 球??ml(1?2cos2?)C相对于质心参考系的速度分量分别为（参考图1）
vCPx???lCPsin????(lsin??|yP|) (14)
vCPy???lCPcos????lcos? (15)
球C相对固定参考系速度的x分量为
vCx?vCPx?vPx （16） 由（3）、（6）、（13） 和 （16）各式得
J vCx???v0 （17）
m(1?2cos2?)根据题意有
vCx?0 （18）由（17）和（18）式得
y J?mv0(1?2cos2?)（19） 由（13）和（19）式得
vsin???0 （20） A l球A若先于球B与挡板发生碰撞，则在球C与挡板碰撞后，整
x O 个系统至少应绕质心转过???角，即杆AB至少转到沿y方向，
如图2所示. 系统绕质心转过???所需时间
P 1B ?2 t?? （21） 在此时间内质心沿x方向向右移动的距离
C ?x?vPxt （22） 若
yP??x?xP （23） 图2 则球B先于球A与挡板碰撞. 由（5）、（6）、（14）、（16）、（18）、（21）、（22）和（23）式得
3 ??arctan （24）
1??即
8
??36? (25)
评分标准： 本题25分.（1）、（2）、（11）、（12）、（19）、（20）式各3分，（21）式1分，（22）、（23）式各2分.(24)或(25)式2分.
解法二
如图1所示，建直角坐标系Oxy，x轴与挡板垂直，y y轴与挡板重合，以vAx、vAy、vBx、vBy、vCx和 vCy分别
表示球C与挡板刚碰撞后A、B和C三球速度的分量，根据题意有
vCx?0 （1） 以J表示挡板作用于球C的冲量的大小，其方向沿x轴的负方向，根据质点组的动量定理有 ?J?m （2） vAx?mvBx3?mv 0 0?mvAy?mvBy?mvCy （3） 以坐标原点O为参考点，根据质点组的角动量定理有
vAy A vBy B vAx?P vBx O x vCy CC 图1
Jlsin??mvAy?lcos??lcos???mvBylcos??mv0lsin? （4） 因为连结小球的
杆都是刚性的，故小球沿连结杆的速度分量相等，故有
vAx?vBx （5）
vCysin??vBysin??vBxcos? （6） vAxcos??vAysin???vCysin? （7）
（7）式中?为杆AB与连线AC的夹角. 由几何关系有
2cos? cos?? （8）
21?3cos?sin? （9） sin??21?3cos?解以上各式得
J?mv0(1?2cos2?) （10）
vAx?v0sin2? （11）
vAy?v0sin?cos? （12）
vBx?v0sin2? （13） vBy?0 （14）
vCy??v0sin?cos? （15） 按题意，自球C与挡板碰撞结束到球A (也可能球B)碰撞挡板墙前，整个系统不受外力作用，系统的质心作匀速直线运动. 若以质心为参考系，则相对质心参考系，质心是静止不动的，A、B和C三球构成的刚性系统相对质心的运动是绕质心的转动. 为了求出转动角
9
速度，可考察球B相对质心的速度.由(11)到(15)各式，在球C与挡板碰撞刚结束时系统质心P的速度
vPx?vPy?mvAx?mvBx?mvCx2?v0sin2? （16）
3m3mvAy?mvBy?mvCy3m?0 （17）
这时系统质心的坐标为
xP??lco?s （18）
1yP??lsin? （19）
3不难看出，此时质心P正好在球B的正下方，至球B的距离为yP，而球B相对质心的速度
12v?vsin vBPx?vB?xPx0? （20）
3vBPy?0 （21）
可见此时球B的速度正好垂直BP，故整个系统对质心转动的角速度
vvsin? ??BPx?0 （22）
yPl若使球A先于球B与挡板发生碰撞，则在球C与挡板碰撞后，整个系统至少应绕质心转过π/2角，即杆AB至少转到沿y方向，如图2所示. 系统绕质心转过π/2所需时间
1π2 t? （23）
?在此时间内质心沿x方向向右移动的距离
?x?vPxt （24） 若
yP??x?xP （25） A 则球B先于球
y A与挡板碰撞. 由以上有关各式得
P B 3 ??arctan （26）
1??即
??36? (27)
评分标准：
本题25分. （2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式各2分，（10）、（22）式各3分，（23）式1分，（24）、（25）式各2分，（26）或(27)式2分.
10
O x C 图2
2012年第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案（完美Word版）
