3.1.1空间向量及其运算
主备人:
学生姓名： ________________ 得分：
一、 教学内容：空间向量(第一课时)空间向量及其运算 二、 教学目标：
1. 掌握空间向量相关的概念，几何表示法、字母表示法 2. 掌握空间向量的加减运算及运算律
.3.借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义. 三、课前预习
1、 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量 它们和以前所学的向量有什么不同？ 2、 空间向量的概念
在空间中，既有 ___________ 又有 的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的 3. 空间向量的加减法 (1)加减法定义
空间中任意两个向量都是共面的, 量的加减法.(如图)
它们的加、减法运算类似于平面向 (如图)
6A 6B OC
6B= OAF °B= a+ b；
°A=
6A- OC
=
a-b.
(2)运算律
交换律：a+ b= b+ a；
结合律：(a+ b) + c= a+ (b+ c). 3. 空间向量的数乘运算 (1)定义
实数入与空间向量a的乘积 入a仍是一个向量，称为向量的数乘运算.当
入＞0时，入a与
a方向相同；当 入＜0时，入a与a方向相反；当 入=0时，Xa= 0.入a的长度是a的长度 的|入|倍.如图所示.
(2)运算律
分配律：入(a+ b)=入a+入b； 结合律：入(口 a)=(入口 ) a.
4. 共线向量定理 (1) 共线向量的定义
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的 _______________ 则这些向量叫做
或 _______ 向量，记作 a II b. (2) 充要条件
对于空间任意两个向量 a, b(b丰0) , b与a共线的充要条件是存在实数 四、讲解新课
要点一空间向量的概念 例1判断下列命题的真假.
(1) 空间向量就是空间中的一条有向线段； (2) 不相等的两个空间向量的模必不相等；
⑶ 两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
⑷向量色与向量忌勺长度相等.
跟踪演练1给出以下命题：
① 若空间向量a, b, c满足a I b, b I c,则a I c； ② 若空间向量 a、b满足| a| = | b|，贝U a= b； ③ 在正方体 ABCDABCD中，必有AC= AC;
④ 若空间向量 m n、p满足 m= n, n= p,贝U m= p； ⑤ 空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确命题的个数是 ______________ .
要点二空间向量的线性运算
例2如图所示，已知长方体 ABCDAB' C' D，化简下列向量表达 式，并标出化简结果的向量： (1) AA — CB
⑵ AE? + B'~C' + C'T)'；
入，使b= X a.
⑶1丽2辰
2A^ A
跟踪演练2已知平行六面体 ABCDAB' C D，点M是棱AA的中点，点G在对角线A
C上且 CG： GA = 2 : 1，设 CD= a, CB= b, CO = c,试用向量 a、b、 c表示向量CA CX、CM CG
要点三空间向量的共线问题
例3 设ei、e2是平面上不共线的向量，
已知AB= 2ei+ ke2, CB= ei+ 3e2, CD= 2ei — e2,若A
B D三点共线，求k的值.
跟踪演练3 设两非零向量 ei、e2不共线，AB= ei + e2, BC= 2ei + 8e2, CD= 3（ei — e2）.试问: A B、D是否共线，请说明理由.
五、课堂练习：
i .在平行六面体 ABC— ABCD中，与向量忌目等的向量共有 ___________________ 个.
2. ______________________________________________________________________ 设 皿是厶ABC勺重心，记BC= a, SA= b, XB= c,则AM等于 ______________________________________ .
3. _____________________________________________________________________________________ 在平行六面体 ABC— A B' C' D'中，模与向量A,_B,的模相等的向量有 ____________________________________ 个. 4. 在正方体 ABCDAiCD中，已知下列各式：①（Ai廿BC + CC;②（AA+
AD） + DC ;③（AB
+
BB） + BC；④（AA+AB）+ B；C.其中运算的结果为 AC的有 _________ 个.
六、 课堂小结 七、 课后作业:
1下列命题中，假命题是 ________________ . ① 若 砂 &共线，则A B C D不一定在同一直线上；
② 空间中，把所有单位向量的起点移到同一个点上，则终点形成一个球面； ③ 只有零向量的模等于 0; ④ 共线的单位向量都相等.
2. _______________________________________________________________________ 已知空间四边形 ABCD中, AB= a, §C= b, XD= c,则CD等于 _____________________ 3. 给出下列命题：
① 向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ② 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③ 两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④ 有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为 ______________ .
4、如图所示，空间四边形 OAB（中, OA= a,
SB= b, 5C= c,点M在OA上，且 0M= 2MA N
CL
为BC中点，贝H M等于 __________________________ .
5.如图，在正方体 ABCDAiCD中，M N分别是AB BC的中点.
如何用SB
C
AD AA表示向量MN
表示AB
6.如图，在直三棱柱 ABCAiG中，若CA= a, CB= b, CC= c,试用a,b,c
江苏省东台市高中数学第三章导数及其应用3.1.1空间向量及其运算导学案（无答案）苏教版选修1-1 - 图文
