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导数
经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. f?(x)是f(x)?
考点二：导数的几何意义。
例2. 已知函数y?f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y?13x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 。 31x?2，则2f(1)?f?(1)? 。
例3.曲线y?x?2x?4x?2在点(1，?3)处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C：y?x?3x?2x，直线l:y?kx，且直线l与曲线C相切于点
3232?x0,y0?x0?0，求直线l的方程及切点坐标。
考点四：函数的单调性。
例5.已知f?x??ax?3x?x?1在R上是减函数，求a的取值范围。
32例6. 设函数f(x)?2x?3ax?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值。 （1）求a、b的值；
（2）若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c成立，求c的取值范围。
点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f?x?的极值步骤：①求导数f'?x?； ②求f'?x??0的根；③将f'?x??0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f'?x?在各区间上取值的正负可确定并求出函数f?x?的极值。
例7. 已知a为实数，f?x??x?4?x?a?。求导数f'?x?；（2）若f'??1??0，求f?x?2232??在区间??2,2?上的最大值和最小值。
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解析：（1）f?x??x?ax?4x?4a，? f'?x??3x?2ax?4。
32212。?f'?x??3x?x?4??3x?4??x?1? 24令f'?x??0，即?3x?4??x?1??0，解得x??1或x?， 则f?x?和f'?x?在区间??2,2?3上随x的变化情况如下表： （2）f'??1??3?2a?4?0，?a?x ?2 0 ??2,?1? ＋ 增函数 ?1 0 极大值 4????1,? 3??— 减函数 4 30 极小值 ?4??,2? ?3?＋ 增函数 2 0 f'?x? f?x? f??1??50509?4??4?，f????。所以，f?x?在区间??2,2?上的最大值为f????，最
27272?3??3?小值为f??1??9。 22答案：（1）f'?x??3x?2ax?4；（2）最大值为f?????4??3?509，最小值为f??1??。 272 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f?x?在区间?a,b?上的最值，要先求出函数f?x?在区间?a,b?上的极值，然后与f?a?和f?b?进行比较，从而得出函数的最大最小值。
考点七：导数的综合性问题。
例8. 设函数f(x)?ax?bx?c(a?0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线
3x?6y?7?0垂直，导函数f'(x)的最小值为?12。（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[?1,3]上的最大值和最小值。 解析： （1）∵f(x)为奇函数，∴f(?x)??f(x)，即?ax?bx?c??ax?bx?c
33∴c?0，∵f'(x)?3ax?b的最小值为?12，∴b??12，又直线x?6y?7?0的斜率为
21，因此，f'(1)?3a?b??6，∴a?2，b??12，c?0． 623（2）f(x)?2x?12x。 f'(x)?6x?12?6(x?2)(x?2)，列表如下：
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x (??,?2) ? 增函数 ?2 (?2,2) 2 (2,??) ? 增函数 f'(x) 0 极大 ? 减函数 0 极小 f(x) 所以函数f(x)的单调增区间是(??,?2)和(2,??)，∵f(?1)?10，
f(2)??82，f(3)?18，∴f(x)在[?1,3]上的最大值是f(3)?18，最小值是f(2)??82。
答案：（1）a?2，b??12，c?0；（2）最大值是f(3)?18，最小值是f(2)??82。 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。
导数强化训练 （一） 选择题
x211. 已知曲线y?的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ A ）
42A．1
3B．2
2 C．3 D．4
（ B ）
2. 曲线y?x?3x?1在点（1，－1）处的切线方程为
A．y?3x?4
2B．y??3x?2 C．y??4x?3 D．y?4x?5
3. 函数y?(x?1)(x?1)在x?1处的导数等于 （ D ）
A．1
B．2
C．3
D．4
（ A ）
4. 已知函数f(x)在x?1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为
A．f(x)?(x?1)?3(x?1)
C．f(x)?2(x?1) D．f(x)?x?1
3222B．f(x)?2(x?1)
5. 函数f(x)?x?ax?3x?9，已知f(x)在x??3时取得极值，则a=（ D ）
（A）2
3
2（B）3 （C）4 （D）5
6. 函数f(x)?x?3x?1是减函数的区间为( D ) （Ａ）(2,??)（Ｂ）(??,2)（Ｃ）(??,0)（Ｄ）(0,2)
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7. 若函数f?x??x?bx?c的图象的顶点在第四象限，则函数f'?x?的图象是（ A ）
2 y y y y 8. 函数f(x)?2x2?x3在区间[0,6]上的最大值是（ A ） A．o 32 x o 16B． x
C．12 o x D．9 o D
x
133B C A y?x3?3x的极大值为m，极小值为n，则m?9. 函数n为 （ A ）
A．0
B．1 C．2
33 D．4
10. 三次函数f?x??ax?x在x????,???内是增函数，则 （ A ）
A． a?0
3
B．a?0 C．a?1
D．a?1 311. 在函数y?x?8x的图象上，其切线的倾斜角小于
?的点中，坐标为整数的点的个数4是 （ D ） A．3 B．2 C．1 D．0
12. 函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数
f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ A ）
A．1个
C．3个
（二） 填空题
13. 曲线y?x在点?1,1?处的切线与x轴、直
3
B．2个 D． 4个
y y?f?(x)b aO x
线x?2所围成的三角形的面积为__________。 14. 已知曲线y?______________ 15. 已知f都有f(n)(n)134x?，则过点P(2,4)“改为在点P(2,4)”的切线方程是33(x)是对函数f(x)连续进行n次求导，若f(x)?x6?x5，对于任意x?R，
(x)=0，则n的最少值为 。
16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储
费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x? 吨．
（三） 解答题
17. 已知函数f?x??x?ax?bx?c，当x??1时，取得极大值7；当x?3时，取得极
32小值．求这个极小值及a,b,c的值．
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18. 已知函数f(x)??x?3x?9x?a. （1）求f(x)的单调减区间；
（2）若f(x)在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
19. 设t?0，点P（t，0）是函数f(x)?x?ax与g(x)?bx?c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。 （1）用t表示a,b,c；
（2）若函数y?f(x)?g(x)在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围。
20. 设函数f?x??x3?bx2?cx(x?R)，已知g(x)?f(x)?f?(x)是奇函数。 （1）求b、c的值。
（2）求g(x)的单调区间与极值。
21. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 22. 已知函数f(x)?2323213123]内各有一个极值点． ，，(1，x?ax?bx在区间[?11)32（1）求a?4b的最大值；
（1） 当a?4b?8时，设函数y?f(x)在点A(1，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿
过函数y?f(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y?f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式．
强化训练答案：
1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A
（四） 填空题 13.
28 14. y?4x?4?0 15. 7 16. 20 3（五） 解答题
17. 解：
f'?x??3x2?2ax?b。
2据题意，－1，3是方程3x?2ax?b?0的两个根，由韦达定理得
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高中数学导数题型总结(2020年九月整理).doc
