解析 当t＝8时，y＝ae
－8b11－8b＝a，所以e＝. 22
－bt容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae
11－bt－8b3－24b＝a，e＝＝(e)＝e，则t＝24. 88
所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一. 答案 16 三、解答题
9.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数).据统计，
10该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位， 30
故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0.
10当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s， 90
故有a＋blog3＝1，即a＋2b＝1.
10解方程组?
??a＋b＝0，
??a＝－1，
得?
???a＋2b＝1，?b＝1.
Q(2)由(1)知，v＝－1＋log3. 10
所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2， 即－1＋log3≥2，解得Q≥270.
10
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s时，其耗氧量至少要270个单位. 10.某医药机构测定，某种药品服用后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.
(1)写出服用药品后y与t之间的函数关系式；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.50微克时治疗有效，求服用药品后的有效时间.
?kt，0≤t≤1，?
解 (1)由题中图象，设y＝??1?t－a
，t>1.?????2?
当t＝1时，由y＝4，得k＝4；
?4t，0≤t≤1，?t－31??当??＝4，得a＝3.所以y＝??1?
?2???，t>1.???2?
1－a??0≤t≤1，?t－3(2)由y≥0.50，得?或??1?
?4t≥0.50???≥0.50，
?t>1，???2?
1131
解得≤t≤4，因此服用药品后的有效时间为4－＝(小时).
888
B级 能力提升
11.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝
aaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为
4
( ) A.5
B.8
C.9
D.10
解析 ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，
1nt5n∴函数y＝f(t)＝ae满足f(5)＝ae＝a，
2
t11?1?5
可得n＝ln ，∴f(t)＝a·??，
52?2?因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，
4
kka1?511?51??f(k)＝a·??＝a，即??＝， ?2?4?2?4∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5. 答案 A
12.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利
B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况
nnC.没有盈利也没有亏损
解析 设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)＝a×1.1
nnnnnn元，经历n次跌停后的价格为a×1.1×(1－10%)＝a×1.1×0.9＝a×(1.1×0.9)＝0.99·a＜a，故该股民这支股票略有亏损. 答案 B
13.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定
t1?h?时间t(单位：min)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)??，其中Ta称为环境温度，h称为半衰
?2?期.现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min. 解析 由题意知Ta＝21 ℃. 令T0＝85 ℃，T＝37 ℃，
16
?1?h得37－21＝(85－21)·??，解得h＝8.
?2?
令T0＝37 ℃，T＝29 ℃，
t1?8?则29－21＝(37－21)·??，解得t＝8. ?2?
答案 8
14.(2020·佛山一中月考)近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝42a－6，1??a＋2，80≤a≤120，
乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝?4设甲城市的投入为x(单位：
??32，120 (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 解 (1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元， 1 所以f(128)＝4×2×128－6＋×112＋2＝88(万元). 4因此，此时公司的总收益为88万元. (2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元， ??x≥80， 依题意得?解得80≤x≤160， ?240－x≥80，? 当80≤x<120，即120<240－x≤160时， f(x)＝42x－6＋32＝42x＋26<26＋1615. 当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时， f(x)＝42x－6＋(240－x)＋2 1 ＝－x＋42x＋56. 4 令t＝x，则t∈[230，410]， 1212 所以y＝－t＋42t＋56＝－(t－82)＋88. 44当t＝82，即x＝128时，y取最大值88. 因为88－(26＋1615)＝2×(31－815)>0， 故f(x)的最大值为88. 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元. C级 创新猜想 15.(多选题)(2020·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动， 1 4 它们的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2－1，f2(x)＝x，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是( ) A.当x>1时，甲走在最前面 B.当x>1时，乙走在最前面 C.当0 解析 甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为 2 xf1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型 函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型. 当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确； 当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确； 根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0 指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确. 答案 CD
2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第9节函数模型及其应用教学案含解析新人教A版
