第9节 函数模型及其应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义;2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
知 识 梳 理
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 性质 在(0,+∞) 单调递增 上的增减性 增长速度 图象的变化 为与y轴平行 2.几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型 二次函数模型 与指数函数 函数解析式 为与x轴平行 而各有不同 越来越快 随x的增大逐渐表现越来越慢 随x的增大逐渐表现相对平稳 随n值变化 单调递增 单调递增 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0) f(x)=ax+b(a、b为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 相关的模型 与对数函数 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 相关的模型 与幂函数 相关的模型 [常用结论与微点提醒]
1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长量越来越小. 2.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.
诊 断 自 测
f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.( )
(2)函数y=2的函数值比y=x的函数值大.( ) (3)不存在x0,使a (4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=a(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=x(a>0)的增长速度.( ) 9 解析 (1)9折出售的售价为100(1+10%)×=99(元). 10 xax0 nx2 ∴每件赔1元,(1)错. (2)中,当x=2时,2=x=4.不正确. 11 (3)中,如a=x0=,n=,不等式成立,因此(3)错. 24答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ x2 2.(老教材必修1P107A1改编)在某个物理实验中,测得变量x和变量y的几组数据,如下表: x y 0.50 -0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 则对x,y最适合的拟合函数是( ) A.y=2x C.y=2x-2 B.y=x-1 D.y=log2x 2 解析 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意. 答案 D 3.(新教材必修第一册P149例4改编)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A.8 B.9 C.10 D.11 n?1?由 解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n个“半衰期”后的含量为??, ?2? ?1?<1,得n≥10. ?2?1 000?? 所以,若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少需要经过10个“半衰期”. 答案 C n 4.(2020·西安一中月考)已知f(x)=x,g(x)=2,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( ) A.f(x)>g(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) B.g(x)>f(x)>h(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 2 x解析 在同一坐标系内,根据函数图象变化趋势,当x∈(4,+∞)时,增长速度大小排列为 g(x)>f(x)>h(x). 答案 B 5.(多填题)(2018·浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?” x+y+z=100,??设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x,y,z,则?当z=81时,x=________,1 5x+3y+z=100,?3?y=________. ??x+y=19, 解析 把z=81代入方程组,化简得? ?5x+3y=73,? 解得x=8,y=11. 答案 8 11 6.(多填题)(2019·北京卷)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. (1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元; (2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________. 解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,原价应为60+80=140(元),超过了120元可以优惠,所以当x=10时,顾客需要支付140-10=130(元).(2)由题意知,当x确定后,顾客可以得到的优惠金额是固定的,所以顾客支付的金额越少,优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠,最少要一次购买2盒草莓,此时顾客支付的金额为(120-x)元,所以(120- x)×80%≥120×0.7,所以x≤15.即x的最大值为15. 答案 (1)130 (2)15 考点一 利用函数的图象刻画实际问题 【例1】 (2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第9节函数模型及其应用教学案含解析新人教A版
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