第9节 函数模型及其应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
知 识 梳 理
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 性质 在(0，＋∞) 单调递增 上的增减性 增长速度 图象的变化 为与y轴平行 2.几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型 二次函数模型 与指数函数 函数解析式 为与x轴平行 而各有不同 越来越快 随x的增大逐渐表现越来越慢 随x的增大逐渐表现相对平稳 随n值变化 单调递增 单调递增 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 相关的模型 与对数函数 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 相关的模型 与幂函数 相关的模型 [常用结论与微点提醒]
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
诊 断 自 测
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( )
(2)函数y＝2的函数值比y＝x的函数值大.( ) (3)不存在x0，使a (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x(a>0)的增长速度.( ) 9 解析 (1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99(元). 10 xax0 nx2 ∴每件赔1元，(1)错. (2)中，当x＝2时，2＝x＝4.不正确. 11 (3)中，如a＝x0＝，n＝，不等式成立，因此(3)错. 24答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ x2 2.(老教材必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x y 0.50 －0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是( ) A.y＝2x C.y＝2x－2 B.y＝x－1 D.y＝log2x 2 解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意. 答案 D 3.(新教材必修第一册P149例4改编)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A.8 B.9 C.10 D.11 n?1?由 解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为??， ?2? ?1?<1，得n≥10. ?2?1 000?? 所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”. 答案 C n 4.(2020·西安一中月考)已知f(x)＝x，g(x)＝2，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) A.f(x)>g(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) B.g(x)>f(x)>h(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 2 x解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为 g(x)>f(x)>h(x). 答案 B 5.(多填题)(2018·浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” x＋y＋z＝100，??设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则?当z＝81时，x＝________，1 5x＋3y＋z＝100，?3?y＝________. ??x＋y＝19， 解析 把z＝81代入方程组，化简得? ?5x＋3y＝73，? 解得x＝8，y＝11. 答案 8 11 6.(多填题)(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%. (1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元； (2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________. 解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).(2)由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－ x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值为15. 答案 (1)130 (2)15 考点一 利用函数的图象刻画实际问题 【例1】 (2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.
2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第9节函数模型及其应用教学案含解析新人教A版
