⑴ 当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的
安排节目的顺序？
⑵ 当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱
节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？
【解析】 ⑴ 先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起
排，则是7个元素全排列的问题，有
P?7!?7?6?5?4?3?2?1?5040(种)方法．第二步再排4个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节
目全排列的问题，有P?4!?4?3?2?1?24(种)方法．
根据乘法原理，一共有5040?24?120960(种)方法． ⑵ 首先将6个演唱节目排成一列(如下图中的
“□”)，是6个元素全排列的问题，一共有P?6!?6?5?4?3?2?1?720(种)方法． ×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，这相当于从7个“×”中选4个来排，一共有P?7?6?5?4?840(种)方法．
根据乘法原理，一共有720?840?604800(种)方法。
【巩固】 由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成
一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？ 【解析】 先排独唱节目，四个节目随意排，是4个元素全排列的
77446647问题，有P44?4?3?2?1?24种排法；其次在独唱节目的首尾排
共32页 第10页
合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节
目选两个进行排列的问题，有P23?3?2?6(种)排法；再在
独唱节目之间的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法．由乘法原理，一共有24?6?3?432(种)不同的编排方法． 【小结】排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然
后再排限制多的元素．如本题中，独唱节目排好之后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了．总的排列数用乘法原理．把若干个排列数相乘，得出最后的答案。
⑴从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）
⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织
委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？
⑶3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几
种坐法？
⑷8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少
种坐法？
⑸一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少
种不同的停放方法？
⑹8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块
土地上，有多少种不同的种法？ 【解析】 ⑴按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8
个元素）取出3个往上排，有P种．
⑵3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有P种．
⑶3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8
【例 11】
3838共32页 第11页
个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有P种．
⑷3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有P种．
⑸3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有P种．
⑹土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有P种。
38383838
【巩固】 现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫
王红)，从中选出男女同学各2人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：
(1)共有多少种选法?
(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少
种?
(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多
少种?
(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术
小组的是女同学的选法有多少种?
2【解析】 （1）从3个男同学中选出2人，有3?=3种选法。从234个女同学中选出2人，有4?=6种选法。在四个人确2定的情况下，参加四个不同的小组有4×3×2×1=24种选法。
3×6×24=432，所以共有432种选法。
（2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2×3×2×1=12种选法。
3×6×12=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种。
共32页 第12页
（3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人，从3个女同学中选出1人，3个人参加3个小组时的选法。 3×3×3×2×1=54，所以参加数学小组的是王红时的选法有54种，432-54=378，所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种。
（4）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人参加两个不同的小组，从3个女同学中选出1人参加美术小组时的选法。 3×2×3=18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18种，216-18=198，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有198种。
某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？ 【解析】 第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，
?5组内赛C?6?15场，共8个小组，有15?8?120场；第二阶段2?1【例 12】
26中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛C24?4?3?62?1场，共4个小组，有6?4?24场；第三阶段赛2?2?4场．根据加法原理，整个赛程一共有120?24?4?148场比赛。
共32页 第13页
由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个。(2007年“迎春杯”高年级组决赛) 【解析】 这是一道组合计数问题．由于题目中仅要求1，2，3至
少各出现一次，没有确定1，2，3出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由1,2,3组成的五位数中，去掉仅有1个或2个数字组成的五位数即可．
(法1)分两类：⑴1，2，3中恰有一个数字出现3次，这样的数有C?5?4?60(个)；⑵1，2，3中有两个数字各出现2次，这样的数有C?5?C?90(个)．符合题意的五位数共有60?90?150(个)． (法2)从反面想，由1，2，3组成的五位数共有3个，由1，2，3中的某2个数字组成的五位数共有3?(2?2)个，由1，3中的某1个数字组成的五位数共有3个，2，
所以符合题意的五位数共有3?3?(2?2)?3?150(个)。
【例 14】 10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多
少种不同选法？ 【解析】 (法1)乘法原理．按题意，分别站在每个人的立场上，
当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有7种选择，总共就有7?10?70种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后的结果应该是(10?1?1?1)?10?2?35(种)．
(法2)排除法．可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为C，而被选的两个人相邻的情况有10种，所以共有C?10?45?10?35(种)。
【例 13】
1323245555210210共32页 第14页
小学奥数排列组合例题
