第15章 傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一 基本内容
一、傅里叶级数
f(x)??anxnn?1?在幂级数讨论中
，可视为f(x)经函数系
2{1,x,x,线性表出而得．不妨称,xn,}为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系
作为基，就得到傅里叶级数．
1 三角函数系
函数列?1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, , cosnx, sinnx, ?称为三角函数系．其有下面两个重要性质．
(1) 周期性 每一个函数都是以2?为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[??,?]上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．
对于一个在[??,?]可积的函数系?un(x): x?[a, b], n?1,2, ?，定义两个函数的内积为
un(x),um(x)??un(x)?um(x)dx a b，
?l?0 m?nun(x),um(x)??? 0 m?n，则称函数系?un(x): x?[a, b], n?1,2,如果
1, sinnx??1?sinnxdx??1?cosnxdx?0 ?? ?? ? ? ?为正交系．
由于 ；
sinmx, sinnx???? m?nsinmx?sinnxdx?? ???0 m?n；
?cosmx, cosnx???? m?n cosmx?cosnxdx?? ???0 m?n ；
?sinmx, cosnx?? ? ? ??sinmx?cosnxdx?0；
1, 1??12dx?2? ??，
所以三角函数系在???,??上具有正交性，故称为正交系．
利用三角函数系构成的级数 称为三角级数，其中a0,a1,b1,,an,bn,2 以2?为周期的傅里叶级数 定义1 设函数f(x)在???,??上可积，
ak?1f(x),coskx?为常数
bk?1?1??1 ? ??f(x)coskxdx k?0,1,2,；
?f(x),sinkx??? ? ??f(x)sinkxdx k?1,2,，
称为函数f(x)的傅里叶系数，而三角级数 称为f(x)的傅里叶级数，记作
a0???ancosnx?bnsinnx?f(x)～2?n?1．
这里之所以不用等号，是因为函数f(x)按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于f(x)．
二、傅里叶级数收敛定理
定理1 若以2?为周期的函数f(x)在[??,?]上按段光滑，则
a0?f(x?0)?f(x?0)???ancosnx?bnsinnx??2n?12，
其中an,bn为f(x)的傅里叶系数．
定义2 如果f?(x)?C[a, b]，则称f(x)在[a,b]上光滑．若
?x?[a,b),f(x?0),f?(x?0)存在；
?x?(a,b],f(x?0)，f?(x?0)存在，
且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称f(x)在[a,b]上按段光滑．
y几何解释如图．
按段光滑函数图象是由有限条 O角点x光滑曲线段组成，它至多有有限个 第一类间断点与角点．
推论 如果f(x)是以2?为周期的连续函数，且在[??,?]上按 段光滑，则?x?R，
a0?f(x)????ancosnx?bnsinnx?2n?1有 ．
定义3 设f(x)在(??,?]上有定义，函数
称f(x)为的周期延拓．
二 习题解答
1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数 (1) f(x)?x, (i) ???x??, (ii) 0?x?2?；
解：(i)、f(x)=x，x?(??,?)作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得
a0?1?????f(x)dx?1????????xdx?0．
1n?当n?1时，
an???1xcosnxdx?????xd(sinnx)
?11?xsinnx|???n?n?????sinnxdx?0，
???11xcosnx|???n?n?????cosnxdx?(?1)n?12n，
所以
f(x)?2?(?1)n?1n?1?sinnxn，x?(??,?)为所求．
(ii)、f(x)=x，x?(0,2?)作周期延拓的图象如下．
其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得
a0?1??2?0f(x)dx?1??2?0xdx?2?．
当n?1时，
?2?11xsinnx|?0n?n??2?0sinnxdx?0，
?2??11xcosnx|?0n?n??2?0cosnxdx??2n，
所以
f(x)???2?sinnxn，x?(0,2?)为所求． n?1?2f(x)=x, (i) -π 2解：(i)、f(x)=x，x?(??,?)作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得 a0?1?????2?2f(x)dx??xdx????3． 1?2当n?1时， ?2n2?xcosnx|????2n2?????cosnxdx?(?1)n4n2， ?2n2?xsinnx|????2n2?????sinnxdx?0， 所以 f(x)??23?4?(?1)nn?1?sinnxn2，x?(??,?)为所求． 2(0,2?)作周期延拓的图象如下． 解：(ii)、f(x)=x，x?y其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得 a0?1?4??2?O2?4?x??2?0f(x)dx?1??2?08?2xdx?3． 2当n?1时， ?2n2?xcosnx|2?0?2n2??2?0cosnxdx?4n2，
傅里叶级数课程及习题讲解
