山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中
2015届高三第二次四校联考
数学（文）试题
【满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
1. 已知集合，集合，则等于 A． C． D． B．
2. 已知复数 (为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点在
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 3. 已知数列满足,，则数列的前项和为
A． B． C． D．
4. 已知函数，若f(?a)?f(a)?2f(2)，则实数的取值范围是
A． B． C． D． 5．已知命题：，，命题：，则下列命题为真命题的是 A. B．
C．
D．
D．第四象限
6．执行如图所示的程序框图，输出的值为
A. B． C． D．
7．已知向量满足，，，则与的夹角为
A． B． C． D．
8. 已知圆x?y?6x?8y?21?0,抛物线的准线为,设抛物线上任意一点到直线的距离为,则的最小值为
A． B． C． D． 9．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是 A．
B． C． D．
2210. 已知是第二象限角, ,函数f(x)?sin?cosx?cos?cos(?2?x)
的图像关于直线对称,则 A． B. C. D.
11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A． B. 2 正视图 C. D.
2 1 侧视图
?2?2?x,x?0212. 已知函数f(x)??，则方程f(2x?x)?a(a?0)的根的个数不可
2 ?lgx,x?0俯视图
（第11题）
能为
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)
13. 已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为_______. 14. 点满足不等式，，则的最大值为________. 15. 已知三棱锥中，，，，，
，则三棱锥的外接球的表面积为________.
16. 已知定义在上的函数满足：①对于任意的，都有；②函数是偶函数；③当时，，则，，从小到大．．．．的排列是______.
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)
在公差不为的等差数列中，已知，且，，成（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和. 18. (本小题满分12分)
如图，四棱锥中，底面为矩形， 平面，为的中点. （1）证明:平面;
（2）设, ,求点到平面的距离. 19. (本小题满分12分)
已知向量，，设函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，边分别是角的对边，角为锐角，
若f?A??sin?2A?等比数列.
文字说明、证明过程或演
????，的面积为，求边的长. ??1，
6?20. (本小题满分12分)
已知动圆过定点，且与圆:相切，点的轨迹为曲线，设为曲线上(不在轴上)的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线与两点. （1）求曲线的方程；
（2）是否存在常数，使总成立？若存在，求；若不存在，说明理由. 21. (本小题满分12分)
设函数f(x)?px?p?2lnx（）. x （1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围； （2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，边AB上的高， （1）证明：、、、四点共圆； （2）若，，求的长.
23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数. （1）写出曲线的参数方程；
（2）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．
24．(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)?x?2?2x?1 （1）解不等式；
（2）对任意，都有成立，求实数的取值范围.
参考答案
一选择题 1-6 CBDACB 7-12DADCCA 二填空题 13.或 14. 15. 6π 16. 三解答题17.解：
（1）设数列的公差为，由题知，， ……………1分
?(1?4d)2?(1?d)(1?13d)， ……………2分
即，又， ……………4分 ， ……………5分 （2）， ……………6分
?Tn?1?21?3?22?5?23????(2n?1)?2n① 2Tn?1?22?3?23?5?24????(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1②
34n?1n?1 ①-②得 ?Tn?2?2?2????2?(2n?1)?2 ……………9分
8?2n?2?(2n?1)?2n?1?2?8?2n?2?(2n?1)?2n?1 ?2?1?2 ??6?2n?1(2?2n?1) ……………11分
n?1 ?Tn?6?2(2n?3) ……………12分
18.（1）连结BD交AC与点O，连结EO P ∵底面ABCD为矩形 ∴O为BD的中点
又∵E为PD的中点 ∴OE为△PBD的中位线， E 则OE∥PB ………4分
又，
A D
∴PB∥平面AEC ……………6分 （2）∵PB∥平面AEC
C B ∴P到平面AEC与B到平面AEC的距离相等
∴VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC ……………8分
又S△ABC=,且E到平面ABC的距离为
AC=2，EC=，AE=1， ∴S△AEC= ……………10分
设P到平面AEC的距离为，
则
17131??h???，可得= 34322∴P到平面AEC的距离为 ……………12分 19.（1）f?x??m?n?sinx?3sinxcosx
2?由
1?cos2x3?sin2x ……………3分 22?2?2k??2x??6?3??2??2k??k?Z?，得?k??x??k?(k?Z) 263∴的单调递增区间为?2?????k?,?k??(k?Z) ……………6分
3?6?（2）f?A??sin?2A?????1????1?????sin?2A???sin?2A????cos2A?1 6?26?6?2??∴cos2A?2cos2A?1??S△ABC=， ∴，
1 又A为锐角，∴， …………9分 22则a?b?c?2bccosA?(b?c)?2bc?bc∴ ……………12分 20.(1)∵在圆B的内部 ∴两圆相内切，所以，
即
∴C点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且长轴长，，， ∴曲线T的方程为： ……………4分 （2）当直线MN斜率不存在时，,
∴AM?AN?|AM|?|AN|?cos??7?，则 ……………5分 当直线MN斜率存在时，设，，MN:，则OQ:， 由得(7?16k)x?96kx?144k?112?0，则 ， ……………7分
2222222?49k2∴y1y2?k??x1?3??x2?3???k?x1x2?3?x1?x2??9?? 27?16k22?49(k2?1) ……………9分 AM?AN??x1?3??x2?3??y1y2?7?16k2由得，则，
1121?k2∴OQ?x?y?1?kx?，由可解得。
7?16k2综上，存在常数，使总成立。 ……………12分
222?2?2??px2－2x＋pp2
21.解（1）f ′(x)=p＋2－ = ， ……………2分
xxx2依题意，f ′(x)≥0在(0, + ∞)内恒成立，
2x
只需px2－2x＋p≥0在(0, + ∞)内恒成立，只需p≥2在(0, + ∞)内恒成立， …………4分
x＋12x
只需p≥（2）max=1，
x＋1
故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+ ∞)。 ……………6分 （应该验证时，符合题意，此题不验证也不扣分）
p2e
（2）依题意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，设h(x)= f(x)－g(x)= px－－2ln x－,x∈[1,e]，
xxpx2＋p＋2(e－x)p22e
h ′(x)=p＋2－＋2 = ， ………………8分
xxxx2因为x∈[1,e]，p>0，所以h ′(x)>0在[1,e]上恒成立，
1
所以h(x) 在[1,e]上是增函数，所以hmax(x)= h(e)=p(e－)－4,
e
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