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第二节 函数的单调性与最值
———————————————————————————————— [考纲传真] 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．
1．增函数、减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：
(1)f(x)在区间D上是增函数?f(x1)＜f(x2)； (2)f(x)在区间D上是减函数?f(x1)＞f(x2)． 2．单调性、单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
3．函数的最值 前提 条件 结论 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M M是y＝f(x)的最大值 M是y＝f(x)的最小值 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．( )
1
(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
x(3)函数y＝|x|是R上的增函数．( ) (4)所有的单调函数都有最值．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A．y＝
1 1－xB．y＝cos x C．y＝ln(x＋1) D．y＝2
11
D [选项A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝在(－1,1)上
1－x1－x为增函数；
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选项B中，y＝cos x在(－1,1)上先增后减；
选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数；
?1?x－x－x选项D中，y＝2＝??在R上为减函数，故y＝2在(－1,1)上是减函数．]
?2?
3．(教材改编)已知函数f(x)＝为________．
222 [可判断函数f(x)＝在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝5x－1
2
，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值x－1
f(6)＝.]
4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________.
【导学号：】
2
5
?－∞，－1? [由题意知2k＋1＜0，得k＜－1.] ?2?2??
5．f(x)＝x－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________. [1,3] 8 [f(x)＝(x－1)－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.]
22
2
函数单调性的判断 (1)函数f(x)＝log2(x－1)的单调递减区间为________． (2)试讨论函数f(x)＝x＋(k＞0)的单调性．
(1)(－∞，－1) [由x－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
令t＝x－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，
2
2
kxt＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间
为(－∞，－1)．]
(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取
k??k???11?x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝?x2＋?－?x1＋?＝(x2－x1)＋k?－?＝(x2－x2??x1???x2x1?x1x2－kx1).2分
x1x2
因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0. 故当x1，x2∈(k，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)， 即函数在(k，＋∞)上单调递增.6分 当x1，x2∈(0，k)时，f(x1)＞f(x2)，
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即函数在(0，k)上单调递减．
考虑到函数f(x)＝x＋(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k)上单调递增，在(－k，0)上单调递减．
综上，函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k)上单调递减.12分
法二：f′(x)＝1－2.2分
令f′(x)＞0得x＞k，即x∈(－∞，－k)或x∈(k，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k)和(k，＋∞).6分
令f′(x)＜0得x＜k，即x∈(－k，0)或x∈(0，k)，故函数的单调减区间为(－k，0)和(0，k).10分
故函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k)上单调递减.12分
[规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．
2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．
易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)． [变式训练1] (1)(2017·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( )
A．y＝x 1C．y＝ 3
22
kxkxB．y＝x
x?1?xD．y＝??
?2?
22
(2)函数f(x)＝log1(x－4)的单调递增区间是( ) A．(0，＋∞) C．(2，＋∞)
B．(－∞，0) D．(－∞，－2)
(1)C (2)D [(1)选项A，B中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D为在定义域11x1－x2
内为单调递减函数，选项C中，设x1＜x2(x1，x2≠0)，则y2－y1＝－＝，因为x1－
x2x1x1x2
x2＜0，当x1，x2同号时x1x2＞0，－＜0，当x1，x2异号时x1x2＜0，－＞0，所以函数
x2x1x2x1y＝在定义域上不是单调函数，故选C.
x(2)由x－4＞0得x＞2或x＜－2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，
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2
1111
1
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因为y＝log1t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x－4的
2
2
单调递减区间，可知所求区间为(－∞，－2)．]
利用函数的单调性求最值 x2＋2x＋a 已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1. 【导学号：】 x1
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
2
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
[思路点拨] (1)先判断函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f(x)min
＞0求a的范围，而求f(x)min应对a分类讨论．
111
[解] (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，f′(x)＝1－2＞0，x∈[1，＋∞)，
22x2x17
即f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋＋2＝.4分
2×12(2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．
法一：①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．
axf(x)min＝f(1)＝a＋3.
要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0， ∴－3＜a≤0.7分
②当0＜a≤1时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数，
f(x)min＝f(1)＝a＋3，
∴a＋3＞0，a＞－3，∴0＜a≤1.
综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3,1].10分 法二：f(x)＝x＋＋2＞0，∵x≥1，∴x＋2x＋a＞0，8分
∴a＞－(x＋2x)，而－(x＋2x)在x＝1时取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即a的取值范围为(－3,1].12分
[规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
请思考，若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数呢？ [变式训练2] (2016·北京高考)函数f(x)＝2 [法一：∵f′(x)＝
－1x－1
2
2
ax2
xx－1
(x≥2)的最大值为________．
2
，∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，
∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
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∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2. 法二：∵f(x)＝
x－1＋11＝＝1＋， x－1x－1x－1
xx1
∴f(x)的图象是将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝1
在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大
x值为f(2)＝2.
法三：由题意可得f(x)＝1＋∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜∴1＜1＋
1. x－1
1
≤1， x－1
1x≤2，即1＜≤2. x－1x－1
故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2.]
?角度1 比较大小 (2015·山东高考)设a＝0.6，b＝0.6，c＝1.5，则a，b，c的大小关
系是( )
A．a x0.6 1.5 0.6 函数单调性的应用 B．a 0.6 C [因为函数y＝0.6是减函数，0<0.6<1.5，所以1>，即b 已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增， ?1? ?则不等式f(2x－1)＜f??3?的x的解集是________． 2x－1≥0，???1，2? [由题意知? ?23?1??2x－1＜，?3?12所以≤x＜.] 23 ?角度3 求参数的取值范围 (1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( ) 1 x≥，??2即?2 x＜??3， 5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值教师用书文新人教A版
