10．（2024?北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条
渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为
；双曲线N的离心率为 2 ． 【解答】解：椭圆M：
+
=1（a＞b＞0），双曲线N：
﹣
=1．若双曲线N的两条渐近线与
椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，
，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），
），可得：
，可得
解得e=．
，即
，
同时，双曲线的渐近线的斜率为可得：
，即
，
可得双曲线的离心率为e=故答案为：
；2．
=2．
11．（2024?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=
+
的最大值为 + ．
，则
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， =（x1，y1），
=（x2，y2），
由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=， 可得A，B两点在圆x2+y2=1上， 且
?
=1×1×cos∠AOB=，
即有∠AOB=60°，
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即三角形OAB为等边三角形， AB=1，
+
的几何意义为点A，B两点
到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，
显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行， 可设AB：x+y+t=0，（t＞0）， 由圆心O到直线AB的距离d=可得2
=1，解得t=
，
，
即有两平行线的距离为即故答案为：
++
．
=，
+
，
的最大值为
12．（2024?上海）已知常数a＞0，函数（fx）=则a= 6 ．
【解答】解：函数f（x）=
的图象经过点P（p，），Q（q，
）．若2p+q=36pq，
的图象经过点P（p，），Q（q，）．
则：，
整理得：
解得：2p+q=a2pq， 由于：2p+q=36pq， 所以：a2=36， 由于a＞0， 故：a=6．
=1，
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故答案为：6
13．（2024?浙江）已知λ∈R，函数f（x）=
，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集
是 {x|1＜x＜4} ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 （1，3]∪（4，+∞） ． 【解答】解：当λ=2时函数f（x）=
，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2
≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．
函数f（x）恰有2个零点， 函数f（x）=
的草图如图：
函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4． 故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．
14．（2024?浙江）已知点P（0，1），椭圆时，点B横坐标的绝对值最大．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由P（0，1），
=2
，
+y2=m（m＞1）上两点A，B满足
=2
，则当m= 5
可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1）， 即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3， 又x12+4y12=4m，
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即为x22+y12=m，① x22+4y22=4m，②
①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m， 可得y1﹣2y2=﹣m， 解得y1=则m=x22+（即有x22=m﹣（
，y2=
，
）2，
）2=
=
，
即有m=5时，x22有最大值4， 即点B横坐标的绝对值最大． 故答案为：5．
15．（2024?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 1260 个没有重复数字的四位数．（用数字作答） 【解答】解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有可以组成
种方法，
种方法，
=720个没有重复数字的四位数；
=540，
含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数． 故答案为：1260．
三．解答题（共2小题）
16．（2024?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x． （1）若f（x）为偶函数，求a的值； （2）若f（
）=
+1，求方程f（x）=1﹣
在区间[﹣π，π]上的解．
【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x， ∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x， ∵f（x）为偶函数， ∴f（﹣x）=f（x），
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∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x， ∴2asin2x=0， ∴a=0； （2）∵f（∴asin∴a=
）=
+1， ）=a+1=
+1，
+2cos2（，
∴f（x）=
sin2x+2cos2x=， ）+1=1﹣）=﹣
，
sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
∵f（x）=1﹣∴2sin（2x+∴sin（2x+∴2x+∴x=﹣
=﹣
，
+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，
π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，
∵x∈[﹣π，π]， ∴x=
17．（2024?浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=
，求cosβ的值．
或x=
或x=﹣
或x=﹣
【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）． ∴x=﹣，y=
，r=|OP|=
； ，r=|OP|=1， ， ，
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，
∴sin（α+π）=﹣sinα=（Ⅱ）由x=﹣，y=得
，
又由sin（α+β）=
得=，
， ．
则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=∴cosβ的值为
或
．
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2024年高考数学压轴题小题
