∵OM＝ON，
∴∠N＝∠M＝60°﹣（α﹣90°）＝150°﹣α， ∵∠OAP＝∠N+∠AON， ∴30°＝2（150°﹣α）， ∴α＝135°，
综上，当△OMN为等腰三角形时，α的值是45°或90°或135°． 八、（本题12分）
25．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P为线段AO上一个动点（不包括两个端点），Q为CD边上一点，且∠BPQ＝90°． （1）①∠ACB＝ 45 度（直接填空）； ②求证：∠PBC＝∠PQD；
③直接写出线段PB与线段PQ的数量关系；
（2）若BC+CQ＝6，则四边形BCQP的面积为 9 （直接填空）；
（3）如图②，连接BQ交AC于点E，直接用等式表示线段AP、PE、EC之间的数量关系．
【分析】（1）①由正方形的性质可得∠ACB＝∠ACD＝45°；
②由四边形内角和定理可求∠PBC+∠PQC＝180°，由平角的性质可得∠PQC+∠PQD＝180°，可得结论；
③过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，由“ASA”可证△PEB≌△PFQ，可得PB＝PQ；
（2）由全等三角形的性质可得BE＝FQ，CE＝CF，S△BPE＝S△PQF，可得CE＝CF＝3，可得S四边形BCQP＝S四边形CEPF＝9；
（3）将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BHA，连接HP，可得AH＝EC，BH＝
BE，∠BCE＝∠BAH＝45°，∠CBE＝∠ABH，可得∠PAH＝90°，∠ABH+∠ABP＝ 45°＝∠PBH，由“SAS”可证△PBH≌△PBE，可得PE＝PH，由勾股定理可得结论．解：（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠ACD＝45°， 故答案为：45；
②∵∠BPQ+∠PBC+∠BCD+∠PQC＝360°， ∴∠PBC+∠PQC＝180°， 又∵∠PQC+∠PQD＝180°， ∴∠PBC＝∠PQD； ③PB＝PQ，
理由如下：如图①中，过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝∠ACB，
又∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F， ∴PE＝PF，
∵∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°， ∴四边形PECF是矩形， 又∵PE＝PF，
∴四边形PECF是正方形， ∴∠EPF＝∠BPQ＝90°， ∴∠BPE＝∠QPF，
又∵∠PEB＝∠PFQ＝90°，PE＝PF， ∴△PEB≌△PFQ（ASA），
∴PB＝PQ；
（2）如图1中，由（1）可知△BPE≌△PQF，四边形PECF是正方形， ∴BE＝FQ，CE＝CF，S△BPE＝S△PQF， ∵BC+CQ＝6，
∴EC+FC＝BC+CQ＝6， ∴CE＝CF＝3， 又∵S△BPE＝S△PQF，
∴S四边形BCQP＝S四边形CEPF＝9， 故答案为：9； （3）PE2＝AP2+EC2． 理由如下： ∵BP＝PQ，
∴∠PBQ＝∠PQB＝45°， ∴∠ABP+∠CBE＝45°，
如图2，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BHA，连接HP，
∴△BEC≌△BHA，
∴AH＝EC，BH＝BE，∠BCE＝∠BAH＝45°，∠CBE＝∠ABH， ∴∠PAH＝∠PAB+∠BAH＝90°，∠ABH+∠ABP＝45°＝∠PBH， 又∵BP＝BP，BH＝BE， ∴△PBH≌△PBE（SAS）， ∴PE＝PH， ∵PH2＝AP2+AH2， ∴PE2＝AP2+EC2．
2019-2020学年辽宁省沈阳市皇姑区八年级下学期期末数学试卷(解析版)
