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重难点05 概率与统计
【命题趋势】统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2024年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍. 【热点预测以及解题技巧】
热点一：“统计”背景下的“概率”问题
这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根据得出的数据求概率.
热点二：样本分析并通过样本分析作决策
进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策. 热点三：线性回归分析
根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程. 由于计算量很大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题意，找出适用的参考数据加以计算. 热点四：独立性检验
寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.
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热点五：与函数相结合的概率统计题
这类题也是近几年出现较多的一类题，其综合性强，理解题意后找准变量，构建函数关系式.
【限时检测】（建议用时：35分钟） 一、单选题
1．（2024·四川高考模拟（文））空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：
AQI 空气质0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 300以上 优 量 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某城市2024年12月全月的指AQI数变化统计图．
根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A．整体上看，这个月的空气质量越来越差
B．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量 C．从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D．从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 【答案】C 【分析】
根据题意可得，AQI指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.
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【详解】
从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确； 从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；
从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确． 故选C．
【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型. 2．（2024·陕西高三月考（理））如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（ ）
A．回答该问卷的总人数不可能是100个
B．回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多 C．回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少
D．回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个 【答案】D 【分析】
先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．
【详解】对于选项A，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③③③的同学人数不为整数，故A正确，
对于选项B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确， 对于选项C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确， 对于选项D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D错误，故选D．
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【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题． 3．（2024·湖南高考模拟（文））已知变量x、y之间的线性回归方程为y??0.7x?10.3，
且变量x、y之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ） ．． x y 6 6 8 m 10 3 12 2 A．可以预测，当x=20时，y??3.7 B．m?4 C．变量x、y之间呈负相关关系 【答案】B 【分析】
将x=20的值代入回归直线方程可判断出A选项的正误；将x,y的坐标代入回归直线方程可计算出实数m的值，可判断出B选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C选项的正误；根据回归直线过点x,y可判断出D选项的正误. 【详解】
对于A选项，当x=20时，y??0.7?20?10.3??3.7，A选项正确；
D．该回归直线必过点?9,4?
????6?8?10+126?m?3?2m?11?9，y??，将点x,y的坐标代
244m?11??0.7?9?10.3?4，解得m?5，B选项错误； 入回归直线方程得4对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量x、y之间呈负相关关系，C选项正
对于B选项，x???确；对于D选项，由B选项可知，回归直线y??0.7x?10.3必过点?9,4?，D选项正确.故选：B.
【点睛】本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
4．（2024·莒县第二中学高考模拟（文））我国现代著名数学家徐利治教授提出：图形的对称性是数学美的具体内容.如图，一个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何图形，正方形ABCD所围成的区域记为③，在圆内且在正方形ABCD外的部分记为③，在圆外且在大正方形内的部分记为③.在整个图形中随机取一点，此点取自③，③，③的概率分别记为P1,P2,P3，则（ ）
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A．P1?P2?P3 B．P1?P3?P2 C．P1?P2?P3 D．P1?P2?P3 【答案】A 【分析】
首先要将小正方形旋转45度，由此看出大正方形与小正方形边长的比值，进而得到面积比，从而可确定概率间的关系. 【详解】
将小正方形旋转45度，图像转化为:
由图像易知：小正方形的面积是大正方形面积的一半，所以P1?P2?P3. 则选A.
【点睛】本题考查了几何概型，着重考查了利用相似比求面积比，突显了对数学抽象与直观想象的考查.
5．（2024·湖北高考模拟（理））七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是
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2024年高考文科数学重难点05 概率与统计（教师版）
