函数的奇偶性、对称性与周期性总结,史上最全

函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全

函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。需要WORD电子文档的同学，可以入群领取。 1.奇偶函数：

设y?f(x),x??a,b?或x???b,?a???a,b?奇偶函数的定义域关于原点对称。 ①若f(?x)??f(x),则称y?f(x)为奇函数；f(x)?f(?x)?0,②若f(?x)?f(x)则称y?f(x)为偶函数。f(x)-f(?x)?0, 2.周期函数的定义：

对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期。

分段函数的周期：设y?f(x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:y?f(x),

x??a,b?,T?b?a。把y?f(x)沿x轴平移KT?K(b?a)个单位即按向量

f(x)??1 f(?x)f(x)?1 f(?x)a?(kT,0)平移，即得y?f(x)在其他周期的图像：y?f(x?kT),x??kT?a,kT?b?。

x??a,b??f(x) f(x)???f(x?kT) x??kT?a,kT?b?

函数周期性的几个重要结论

1、f(x?T)?f(x)( T?0) ?y?f(x)的周期为T，kT(k?Z)也是函数的周期 2、f(x?a)?f(x?b) ?y?f(x)的周期为T?b?a 3、f(x?a)??f(x) ?y?f(x)的周期为T?2a 4、f(x?a)?1f(x)

?y?f(x)的周期为T?2a ?y?f(x)的周期为T?2a

5、f(x?a)??1f(x)

6、f(x?a)?1?f(x) ?y?f(x)的周期为T?3a

1?f(x)7、 f(x?a)??1 ?y?f(x)的周期为T?2a f(x)?18、f(x?a)?1?f(x) ?y?f(x)的周期为T?4a

1?f(x)9、f(x?2a)?f(x?a)?f(x) ?y?f(x)的周期为T?6a 10、若p?0,f(px)?f(px?) , 则T?.

11、y?f(x)有两条对称轴x?a和x?b (b?a)?y?f(x) 周期T?2(b?a) 推论：偶函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)?y?f(x) 周期T?2a

12、y?f(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) (b?a) ?y?f(x) 周期T?2(b?a) 推论：奇函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)?y?f(x) 周期T?4a

13、y?f(x)有一条对称轴x?a和一个对称中心(b,0)(b?a)?f(x)的T?4(b?a)

p2p2

函数的对称性：

（1）中心对称即点对称：

①点A(x,y)与B(2a?x,2b?y)关于点(a,b)对称； ②点A(a?x,b?y)与B(a?x,b?y)关于(a,b)对称；

③函数y?f(x)与2b?y?f(2a?x)关于点(a,b)成中心对称； ④函数b?y?f(a?x)与b?y?f(a?x)关于点(a,b)成中心对称； ⑤函数F（x,y)?0与F(2a?x,2b?y)?0关于点(a,b)成中心对称。 （2）轴对称：对称轴方程为：Ax?By?C?0。 ①点A(x,y)与B(x/,y/)?B(x?Ax?By?C?0成轴对称；

2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C),y?)关于直线2222A?BA?B②函数y?f(x)与y?2B(Ax?By?C)2A(Ax?By?C)?f(x?)关于直线

A2?B2A2?B22A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)F(x,y)?0与F(x?,y?)?0Ax?By?C?0成轴对称。 2222A?BA?B③关于直线

Ax?By?C?0成轴对称。