指数函数
第二课时
提问：
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质？
an a a a
a
n
1 an
00a, a 1 (a 0) ,0 无意义
( a
0)
am an
(an ) m
am n ; (am )n
amn , ( ab) n
amn
an bn
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数
.
a ＞ 0
8
2．观察以下式子，并总结出规律：
10
① 5 a10 ③ 4 a12
5
( a2 )5 ( a )
34
a2
a 5
12
②
a8
5
( a4 )2 a4 ( a2 )5 a2
a 2
10
4
a3
a 4
④ 5 a10
a 5
小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，
（分数指数幂形式） .
2
3
根式可以写成分数作为指数的形式，
根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式
.如：
a2 b
a3
1
( a 0)
b2
5
(b
0)
4
c5
c4
(c
m
0)
即： n am
a n (a 0, n N * , n 1)
为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
m
a n
n
am ( a 0, m, n N * )
m
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即： a
n
1 a
*
m (a 0, m, n N n
)
规定： 0 的正分数指数幂等于 说明：规定好分数指数幂后，
n
1
0， 0 的负分数指数幂无意义 . 根式与分数指数幂是可以互换的，
1
1
分数指数幂只是根式的
一种新的写法，而不是
a m a m a m a m (a 0)
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义， 因此，有理数指数幂是有意义的， 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
（ 1） ar as ar s( a
0, r , s Q )
（ 2） (ar ) S ars ( a 0, r , s Q ) （ 3） (a b)r
ar br (Q 0, b 0, r Q)
若 a ＞ 0， P 是一个无理数，则 P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课
本 P62—— P62.
即： 2 的不足近似值， 从由小于
2 的方向逼近 2 ， 2 的过剩近似值从大于 2 的
方向逼近
2 .
2 不足近似值从小于
2 的方向逼近时， 5 2 的近似值从小于 5 2 的方向逼近
所以，当
5 2 .
当 2 的过剩似值从大于
2 的方向逼近
2 时， 5 2 的近似值从大于 5 2 的方向逼近
5 2 ，( 如课本图所示 )
所以， 5 2 是一个确定的实数 .
一般来说，无理数指数幂 a p (a
0, p是一个无理数 ) 是一个确定的实数，有理数指数
.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过 .
幂的性质同样适用于无理数指数幂 剩近似值无限地逼近以确定大小
思考： 2 3 的含义是什么？
由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：
ar as ar s( a 0, r R, s R)
R, s R) 0, r R)
(ar ) s ars (a 0, r (a b) r
3．例题
2
ar br (a
（ 1）．（ P51，例 2）求值
2
3 2
解：① 83
(23)3
2
1
2 3
1
22
2 ( 1 )
4
② 25
(5)
22
5
2
5 11
5
③ (
1)
5
(21)5
21(5)
32
2
④ (1632
81) 3
4 2
( )
4 ( 4 )
(
) 3 27
3
3
8
（ 2）．（ P51，例 3）用分数指数幂的形式表或下列各式（ a ＞0）
1
3
1
7
解： a3. a a3 a 2
a 2 a2
2
8
2
3
2
2
3
2
2
3
3
a
a a
a
a
a
1
4 4 1
2
a3
3
3
3 2
3
a
a a a (a )
a
分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算
.
课堂练习： P54 练习 第 1， 2，3 题
补充练习：
(2n 1 )2 ( 1) 2n 1
1. 计算：
2 的结果
4n8 2
a
1
2. 若 a3
3,
a
10
384, 求a3 [(
10 )7
]n
3 的值
a3
小结：
1．分数指数是根式的另一种写法 .
2．无理数指数幂表示一个确定的实数
.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的作业： P59 习题
2.1 第 2 题
.
人教版高中数学必修一教材《指数函数》教案
