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第一讲：因式分解(一) ..................................... 1
第二讲：因式分解(二) ..................................... 6
第三讲 实数的若干性质和应用 ........................... 9
第四讲 分式的化简与求值 .............................. 13
第五讲 恒等式的证明 .................................... 16
第六讲 代数式的求值 .................................... 20
第七讲 根式及其运算 .................................... 24
第八讲 非负数 ............................................ 29
第九讲 一元二次程 ...................................... 33
第十讲 三角形的全等及其应用 ......................... 37
第十一讲 勾股定理与应用 .............................. 43
第十二讲 平行四边形 .................................... 47
第十三讲 梯形 ............................................ 52
第十四讲 中位线及其应用 .............................. 56 第十五讲 相似三角形(一) ............................... 60 第十六讲 相似三角形(二) ............................... 64 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决多数学问题的有力工具．因式分解法灵活，技巧性强，学习这些法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘
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第十七讲* 集合与简易逻辑 .............................. 69 第十八讲 归纳与发现 .................................... 76
第十九讲 特殊化与一般化 ............................... 81
第二十讲 类比与联想 .................................... 86
第二十一讲 分类与讨论.................................. 91
第二十二讲 面积问题与面积法 ......................... 96
第二十三讲 几不等式 .................................. 100
第二十四讲* 整数的整除性 ............................ 106
第二十五讲* 同余式 .................................... 110
第二十六讲 含参数的一元二次程的整数根问题 .... 115
第二十七讲 列程解应用问题中的量 .................. 119
第二十八讲 怎样把实际问题化成数学问题 .......... 125
第二十九讲 生活中的数学(三) ——镜子中的世界 131
第三十讲 生活中的数学(四)──买鱼的学问 ........... 99
第一讲：因式分解(一)
法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
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(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2．
本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) (7)an
-bn
=(a-b)(an-1
+an-2
b+an-3b2
+…+abn-2
+bn-1
)其中
n为正整数；
(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中 n为偶数；
(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其 中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式：
(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7．
解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4) =-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1 yn(xn-y)2(xn+y)2． (2)原式=x3 +(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2 +2xy+xz-2yz)．
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=(a-b+c)2
(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2)
=(a2-b2)(a5+b5)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
本题实际上就是用因式分解的法证明前面给出的公式(6)．
分析 我们已经知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性，现将此公式变形为
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为
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a3+b3+c3-3abc
显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立． 如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1． 分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项 x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式 an-bn来分解． 解 因为
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)， 所以
说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再 除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运 算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将
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两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例4 分解因式：x3-9x+8．
分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3． 原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法4 添加两项-x2+x2． 原式=x3-9x+8
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