高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值
一、选择题
1
1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和3，则( ) A．a－2b＝0 B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D
解析 y′＝3ax2＋2bx，据题意，
1
0、是方程3ax2＋2bx＝0的两根
3
2b1
∴－3a＝3， ∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( ) 11A.ln2 B．－ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B
解析 由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2
令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0
1
∵2x＞0，∴x＝－ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( ) A．0＜b＜1 B．b＜1
1
C．b＞0 D．b＜2 答案 A
解析 f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0，
∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1
综上，b的范围为0＜b＜1
4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是( )
A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点
D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B
解析 x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0
∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．
x32
5．函数y＝3＋x－3x－4在[0,2]上的最小值是( )
1710A．－3 B．－3
64
C．－4 D．－3 答案 A
解析 y′＝x2＋2x－3.
令y′＝x2＋2x－3＝0，x＝－3或x＝1为极值点．
当x∈[0,1]时，y′<0.当x∈[1,2]时，y′>0，所以当x＝1时，函数取得极小值，也为最小值．
17
∴当x＝1时，ymin＝－3.
6．函数f(x)的导函数f′(x)的图象，如右图所示，则( )
A．x＝1是最小值点 B．x＝0是极小值点 C．x＝2是极小值点
D．函数f(x)在(1,2)上单增 答案 C 为极小值点，选C.
解析 由导数图象可知，x＝0，x＝2为两极值点，x＝0为极大值点，x＝217
7．已知函数f(x)＝2x3－x2－2x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为( ) A．f(－a2)≤f(－1) B．f(－a2) D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定 答案 A 327 解析 由题意可得f′(x)＝2x－2x－2. 17 由f′(x)＝2(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝3. 7 当x<－1时，f(x)为增函数；当－1 8．函数f(x)＝e－x·x，则( ) 1 A．仅有极小值 2e1 B．仅有极大值 2e 1 C．有极小值0，极大值 2e D．以上皆不正确 答案 B 解析 f′(x)＝－e－x·x＋ 12x ·e－x＝e－x(－x＋ 12x )＝e－x·1－2x . 2x 1 令f′(x)＝0，得x＝2. 1 当x>2时，f′(x)<0； 1 当x<2时，f′(x)>0. 11111∴x＝2时取极大值，f(2)＝·2＝. e2e 二、填空题 9．若y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b＝________. 21 答案 －3 －6 a 解析 y′＝x＋2bx＋1. 2 a＋2b＋1＝0a＝－???3 由已知?a，解得? 1 ?2＋4b＋1＝0??b＝－6 1 10．已知函数f(x)＝3x3－bx2＋c(b，c为常数)．当x＝2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)只有三个零点，则实数c的取值范围为________ 4 答案 0 13 解析 ∵f(x)＝3x－bx2＋c，∴f′(x)＝x2－2bx，∵x＝2时，f(x)取得极值，∴
高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)
