例析导数压轴题中严格不等式的证明
李 宁 贺航飞 唐盛彪
【摘 要】不等式证明题是高考压轴题中的典型题.本文通过一例给出了这类问题的多个思维方向.
【期刊名称】数理化解题研究 【年(卷),期】2024(000)001 【总页数】2
【关键词】不等式；证明；最值
资金项目：本文为海南省教育科学“十三五”规划立项课题《基于云平台教学的数学特优生校本课程开发实践》(课题编号：QJZ13516009)研究成果之一. 严格不等式f(x)>g(x)的证明是导数压轴题中一类常见的问题. 这类问题的表达式中通常会混合多种类型的函数，解法灵活且具有一定的难度，能很好考查学生的洞察力.
例题 当x>0时，证明不等式：ex>lnx+2.
本文以此题为例，从不同方向入手探索这类问题的解题策略.
一、借助隐零点估计最值来证明f(x)-g(x)>0
要证明f(x)>g(x)，只需证明f(x)-g(x)>0，此时只要求出f(x)-g(x)的最小值与0比较即可. 但是通常导函数的零点不能求出，可以对零点采取设而不求的策略来估计f(x)-g(x)的最小值.
证法1 设h(x)=ex-lnx-2，x>0，则
易见在(0,+)上单调递增，且从而?使得h′(x0)=0，即此时
又当x∈(0,x0)时， h′(x0)<0；当x∈(x0,+)时， h′(x0)>0. 从而x0是h(x)的极
小值点，也是最小值点，即
而则中等号不能取得，从而h(x)>0，即ex>lnx+2. 变式1 当x>0时，证明不等式(x-2)lnx+1>0.
证明 设f(x)=(x-2)lnx+1，x>0，则f 从而f ′(x)在(0,+)上单调递增，且f ′(1)=-1<0，f ′(2)=ln2>0，于是?x0∈(1,2)，使得f ′(x0)=0，此时
又当x∈(0,x0)时， f ′(x0)<0；当x∈(x0,+)时， f ′(x0)>0. 从而x0是f(x)的极小值点，也是最小值点，即 设则从而g(x)在(1,2)上单调递减，故g(x) 二、通过f(x)min>g(x)max来证明f(x)>g(x) 计算出f(x)min,g(x)max，一旦f(x)min>g(x)max成立，则必有f(x)>g(x)，此时的函数不等式相对比较弱. 还有一种情形是，f(x)min=g(x)max，但两边取最值的条件不同，也有f(x)>g(x). 回到例题，不等式的两边均无最值，此时得设法等价改造使得能求最值. 证法2 只需证明，当x>0时， 设则 当x∈(0,1)时，f ′(x)<0；当x∈(1,+)时，f ′(x)>0. 所以x=1是f(x)的极小值点，同时也是最小值点，从而f(x)≥f(1)=e. 设则 当时，g′(x)>0；当)时，g′(x)<0. 所以是g(x)的极大值点，同时也是最大值点，从而 从而但两个等号不能同时取得，故不等式得证. 变式2 当x>0时，证明不等式 证明 只需证明，当x>0时， 设f(x)=xlnx+x，x>0，则f ′(x)=lnx+2. 当时，f ′(x)<0；当)时，f ′(x)>0. 所以是f(x)的极小值点，同时也是最小值点，从而 设则 当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当 x∈(1,+)时，g′(x)<0. 从而x=1是g(x)的极大值点，同时也是最大值点，从而 从而但两个等号不能同时取得，故不等式得证. 三、通过f(x)>h(x)>g(x)来证明f(x)>g(x) 以上思路是在中间找一个常数作为中介来证明f(x)>g(x). 类似地，我们也可以通过适当放缩在中间插入一个函数作为中介来证明f(x)>g(x). 函数不等式ex≥x+1及其等价形式lnx≤x-1是常用的放缩工具，也是例题的背景. 证法3 首先证明不等式ex≥x+1. 设f(x)=ex-x-1，则f ′(x)=ex-1. 当x∈(-,0)时，f ′(x)<0；当x∈(0,+)时，f ′(x)>0. 从而x=0是f(x)的极小值点，同时也是最小值点，即f(x)≥f(0)=0，故ex≥x+1，等号成立当且仅当x=0. 当x>-1时，由ex≥x+1得x≥ln(x+1). 从而当x>0时，x-1≥lnx，等号成立当且仅当x=1. 于是当x>0时，ex>x+1=(x-1)+2≥lnx+2，ex>lnx+2得证. 变式证明不等式ex+2>2e1-x(sinx+cosx). 证明 只需证明当时， 由不等式ex≥x+1，可得e2x+1≥(2x+1)+1=2x+2，当且仅当时等号成立. 设则 当x∈[-1,0)，f ′(x)<0；当 从而x=0是f(x)的极小值点，同时也是最小值点，即f(x)≥f(0)=0，即当且仅当x=0时等号成立. 于是但是两个等号不能同时取得，于是不等式得证. 综合以上解法，解决这类问题的策略是：基于函数思想结合分析法思考，构造新函数，能求最值的即可拿最值比较，不能求最值的则需创造性等价变形使得能求最值，或者对导函数零点设而不求来估计原函数最值. 比如要证明当x>0
例析导数压轴题中严格不等式的证明
