2024-2024学年北京市丰台区高一（下）期末数学试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）某学校的A，B，C三个社团分别有学生20人，30人，10人，若采用分层抽样的方法从三个社团中共抽取12人参加某项活动，则从A社团中应抽取的学生人数为（ ） A．2 2．（4分）直线A．
B．4
C．5
D．6
x﹣y+3＝0的倾斜角是（ ）
B．
C．
D．
3．（4分）在△ABC中，已知b＝3，c＝8，A＝A．6
B．12
，则△ABC的面积等于（ ） C．6
D．12
4．（4分）以点（1，2）为圆心，且经过点（2，0）的圆的方程为（ ） A．（x﹣2）+y＝5 C．（x﹣1）+（y﹣2）＝13
2
2
2
2
B．（x﹣1）+（y﹣2）＝5 D．（x+1）+（y+2）＝13
2
2
22
5．（4分）在区间[0，9]随机取一个实数x，则x∈[0，3]的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
6．（4分）若直线l1：ax+y﹣l＝0与直线l2：x+ay+l＝0平行，则a的值为（ ） A．﹣1
B．0
C．1
D．﹣1或1
7．（4分）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ） A．2π
2
B．π
2
C． D．
8．（4分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如果将直角三角形的三边都增加l个单位长度，那么新三角形（ ） A．一定是锐角三角形 C．一定是直角三角形
B．一定是饨角三角形 D．形状无法确定
10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，当点E在B1D1（与B1，D1不重合）上运动时，
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总有：
①AE∥BC1； ②平面AA1E⊥平面BB1D1D； ③AE∥平面BC1D； ④A1C⊥AE． 以上四个推断中正确的是（ ）
A．①②
B．①④
C．②④
D．③④
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分，
11．（4分）如果事件A与事件B互斥，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝ ． 12．（4分）过点A（0，2），且与直线x+y+1＝0垂直的直线方程为 ．
13．（4分）某幼儿园对儿童记忆能力的量化评价值x和识图能力的量化评价值y进行统计分析，得到如下数据：
x y 4 3 6 5 8 6 10 8 由表中数据，求得回归直线方程＝x+中的＝0.8，则＝ ．
14．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为l．那么该四棱锥最长棱的棱长为 ．
15．（4分）如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B．灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°，与A相距3
海里的D处；乙船
位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，此时乙船与灯塔A之间的距离为 海里，两艘轮船之间的距离为 海里．
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16．（4分）已知点A（﹣a，0），B（a，0）（a＞0），点C在圆（x﹣2）+（y﹣2）＝2上，且满足∠ACB＝90°，则a的最小值是 ．
三、解答题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（7分）在△ABC中，a＝7，c＝3，且5sinC＝3sinB． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）求A的大小．
18．（9分）为了评估A，B两家快递公司的服务质量，现从两家公司的客户中各随机抽取100名客户作为样本，进行服务质量满意度调查，现将A，B两公司的调查得分分别绘制成频率分布表和频率分布直方图．规定60分以下为对该公司服务质量不满意．
分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 合计 频数 2 30 40 25 3 100 频率 0.02 0.3 0.4 0.25 0.03 1 2
2
（Ⅰ）求样本中对B公司的服务质量不满意的客户人数；
（Ⅱ）现从样本对A，B两个公司服务质量不满意的客户中，随机抽取2名进行走访，求这两名客户都来自于B公司的概率；
（Ⅲ）根据样本数据，试对两个公司的服务质量进行评价，并阐述理
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由．
19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，且AD＝BC，∠ABC＝90°． （Ⅰ）求证：PA⊥BC：
（Ⅱ）若E为PB的中点，求证：AE∥平面PCD．
20．（10分）已知圆M：x+y＝1．
（Ⅰ）求过点（﹣1，﹣2）的圆M的切线方程；
（Ⅱ）设圆M与x轴相交于A，B两点，点P为圆M上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与直线x＝3交于C，D两点．
（i）当点P的坐标为（0，1）时，求以CD为直径的圆的圆心坐标及半径；
（ii）当点P在圆M上运动时，以CD为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？请说明理由．
2
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2024-2024学年北京市丰台区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）某学校的A，B，C三个社团分别有学生20人，30人，10人，若采用分层抽样的方法从三个社团中共抽取12人参加某项活动，则从A社团中应抽取的学生人数为（ ） A．2
B．4
C．5
D．6
【分析】根据题意计算出抽样比为，又A社团共有20人，所以A社团抽取的学生数为20×＝4，
【解答】解：依题意，抽样比为
＝，
因为A社团共有20人，所以A社团抽取的学生数为20×＝4， 故选：B．
【点评】本题考查了分层抽样，属于基础题．分层抽样为随机抽样，所以每一层的抽样比例都是样本容量与总体容量的比值． 2．（4分）直线A．
x﹣y+3＝0的倾斜角是（ ）
B．
C．
D．
【分析】由直线的方程求出斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系，求出它的倾斜角． 【解答】解：直线故选：B．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题． 3．（4分）在△ABC中，已知b＝3，c＝8，A＝A．6
B．12
，则△ABC的面积等于（ ） C．6
D．12
x﹣y+3＝0的斜率为
，故它的倾斜角是
，
【分析】直接利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：在△ABC中，已知b＝3，c＝8，A＝则△ABC的面积等于：故选：C．
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，
＝6．
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