水 塔 水 流 量 估 计 问 题
一．问题描述
某居民区有一供居民用水的园柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量， 但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量． 通常水泵每天供水一两次，每次约两小时.
水塔是一个高12.2米，直径17.4米的正园柱．按照设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作．
表1 是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量．
表1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动） 时刻(h) 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 水位(cm) 968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 时刻(h) 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 水位(cm) // // 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 时刻(h) 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 水位(cm) 866 843 822 // // 1059 1035 1018
二．流量估计的解题思路
拟合水位~时间函数 拟合水位~时间函数 拟合水位~时间函数
1.拟合水位~时间函数
测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段），和3个水泵不工作时段（以下称第1时段t=0到t=8.97，第2次时段t=10.95到t=20.84和第3时段t=23以后）。
对第1、2时段的测量数据直接分别作多项式拟合，得到水位函数．为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般在3~6．由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出较好的拟合。 2.确定流量~时间函数
对于第1、2时段只需将水位函数求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3时段流量包含在第2供水时段内． 3.一天总用水量的估计
总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分得到。
三．算法设计与编程
1、拟合第1时段的水位，并导出流量
设t，h为已输入的时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入），第1时段各时刻的流量可如下得：
1） c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）；
%用3次多项式拟合第1时段水位，c1输出3次多项式的系数
2）a1=polyder（c1）；
% a1输出多项式（系数为c1）导数的系数
3）tp1=0：0.1：9；
x1=-polyval（a1，tp1）；% x1输出多项式（系数为a1）在tp1点的函数值（取负后边为正值），即tp1时刻的流量
f (t)??0.2356t4）流量函数为：
2?2.7173t?22.1079
2、拟合第2时段的水位，并导出流量
设t，h为已输入的时刻和水位测量记录（水泵启动的4个 时刻不输入），第2时段各时刻的流量可如下得： 1） c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)；
%用3次多项式拟合第2时段水位，c2输出3次多项式的系数
2） a2=polyder(c2)；
% a2输出多项式（系数为c2）导数的系数
3）tp2=10.9:0.1:21;
x2=-polyval(a2,tp2); % x2输出多项式（系数为a2）在tp2点的函数值（取负后边为正值），即tp2时刻的流量
4）流量函数为：f (t)??0.0284t3?1.2173t2?15.9045t?34.1994
3、拟合供水时段的流量
在第1供水时段（t=9~11）之前（即第1时段）和之后（即第2时段）各取几点，其流量已经得到，用它们拟合第1供水时段的流量．为使流量函数在t=9和t=11连续，我们简单地只取4个点，拟合3次多项式（即曲线必过这4个点），实现如下：
xx1=-polyval（a1，[8 9]）； %取第1时段在t=8,9的流量 xx2=-polyval（a2，[11 12]）； %取第2时段在t=11,12的流量 xx12=[xx1 xx2]；
c12=polyfit（[8 9 11 12]，xx12，3）； %拟合3次多项式 tp12=9：0.1：11；
x12=polyval（c12，tp12）； % x12输出第1供水时段各时刻的流量 拟合的流量函数为：f (t)??1.1731t3?34.8448t2?336.5049t?1078.1
在第2供水时段之前取t=20，20.8两点的流水量，在该时刻之后（第3时段）仅有3个水位记录，我们用差分得到流量，然后用这4个数值拟合第2供水时段的流量如下： dt3=diff（t(22：24)）； %最后3个时刻的两两之差 dh3=diff（h(22：24)）； %最后3个水位的两两之差 dht3=-dh3./dt3； %t(22)和t(23)的流量 t3=[20 20.8 t(22) t(23)]；
xx3=[-polyval(a2，t3(1：2))，dht3]； %取t3各时刻的流量 c3=polyfit（t3，xx3，3）； %拟合3次多项式 tp3=20.8：0.1：24；
x3=polyval（c3，tp3）；% x3输出第2供水时段（外推至t=24）各时刻的流量 拟合的流量函数为：f (t)?0.4181t3?27.8430t2?615.6844t?4496.8
4、一天总用水量的估计
第1、2时段和第1、2供水时段流量的积分之和，就是一天总用水量．虽然诸时段的流量已表为多项式函数，积分可以解析地算出，这里仍用数值积分计算如下：
y1=0.1*trapz(x1)； %第1时段用水量（仍按高度计），0.1为积分步长 y2=0.1*trapz(x2)； %第2时段用水量 y12=0.1*trapz(x12)； %第1供水时段用水量 y3=0.1*trapz(x3)； %第2供水时段用水量
水塔水流量估计问题
