【高中数学】数学《空间向量与立体几何》复习知识点
一、选择题
1．在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中,点P1,P2分别是线段AB,BD1（不包括端点）上的动点,且线段PP1ADD1,则四面体PP12AB1的体积的最大值是 12平行于平面AA．
1 24B．
1 12C．
1 6D．
1 2【答案】A 【解析】
由题意在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P1,P2分别是线段AB,BD1上的动点，
且线段PP1ADD1,?PP12B??AD1B， 12平行于平面A?x,x?(0,1)，即PP 设PB到平面AA1B1B的距离为x， 112?2x,P2 所以四棱锥PP12AB1的体积为V? 当x?111??(1?x)?1?x?(x?x2)， 32611时，体积取得最大值，故选A． 224
点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．
2．在三棱锥P?ABC中，PA?平面ABC，且?ABC为等边三角形，AP?AB?2，则三棱锥P?ABC的外接球的表面积为（ ） A．
27? 2B．
28? 3C．
26? 3D．
25? 2【答案】B 【解析】 【分析】
?PA?可得出外接球的半径，进而可
计算出?ABC的外接圆半径r，利用公式R?r2????2?得出三棱锥P?ABC的外接球的表面积. 【详解】
2?ABC的外接圆半径为
r?AB2sin?3?233，
QPA?底面ABC，所以，三棱锥P?ABC的外接球半径为
?23?21?PA?22， R?r????1??????3?2??3??21?28?2. ?因此，三棱锥P?ABC的外接球的表面积为4?R?4?????3?3??故选：B. 【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
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3．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）
A．8(6?62?3) B．6(8?82?3) C．8(6?63?2) D．6(8?83?2) 【答案】A 【解析】 【分析】
该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可. 【详解】
由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2?22的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，则该几何体的表面积为
11??S?6??(2?22)2?4??2?2??8??2?3?8(6?62?3).
22??故选：A. 【点睛】
本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.
4．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P?ABCD中，E为侧棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值是（ ）
A．34 17B．234 17C．517 17D．317 17【答案】D 【解析】 【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB与CE所成角的平面角，在?PCD中利用余弦定理求出cos?DPC进而求出CE，再在?GFH中利用余弦定理即可得解. 【详解】
如图，取PA的中点F，AB的中点G，BC的中点H，连接FG，FH，GH，EF，
则EF//CH，EF?CH，从而四边形EFHC是平行四边形，则EC//FH， 且EC?FH.
因为F是PA的中点，G是AB的中点，
所以FG为?ABP的中位线，所以FG//PB，则?GFH是异面直线PB与CE所成的角.由题意可得FG?3，HG?1AC?22. 2PD2?PC2?CD236?36?167在?PCD中，由余弦定理可得cos?DPC???，
2PD?PC2?6?69则CE2?PC2?PE2?2PC?PEcos?DPC?17，即CE?17.
FG2?FH2?GH29?17?8317. 在?GFH中，由余弦定理可得cos?GFH???2FG?FH172?3?17故选：D 【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
5．已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为AB，AA1的中点，则异面直线
C1M与BN所成角的大小为（ ）
A．30° 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解 【详解】 如图：
B．45?
C．60?
D．90?
作AN的中点N'，连接N'M，C1N'由题设可知N'MPBN，则异面直线C1M与BN所成角为?N'MC1或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，N'M?5 ，
C1M?6，C1N'?41，得C1N'?N'M?C1M，即?N'MC1?90?
222故选D 【点睛】
本题考查异面直线的求法，属于基础题
6．已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A．若m∥β，则m∥l C．若m⊥β，则m⊥l 【答案】D 【解析】
B．若m∥l，则m∥β D．若m⊥l，则m⊥β
【分析】
A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断. 【详解】
A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 故选：D. 【点睛】
本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
7．如图，棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是（ ）
A．
1 2B．
2 4C．
2 2D．3 2【答案】B 【解析】 【分析】
如图建立空间直角坐标系，可证明A1D?平面ABC1D1，故平面ABC1D1的一个法向量
uuuur为：DA1，利用点到平面距离的向量公式即得解.
【详解】
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》解析含答案
