人教A版选修1-1教案：3.2立体几何中的向量方法第5课时（含答案）

§3.2.5综合问题

【学情分析】：

教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经运用向量解决了一些立体几何问题，本节课是进一步通过坐标与向量来解决立体几何的一些综合问题。由此我们可以继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性。

【教学目标】：

（1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．

（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。 （3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

【教学重点】：

坐标法与向量法结合.

【教学难点】：

适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．

【教学过程设计】： 教学环节 一、复习引入 教学活动 教师引导学生结合前面的例题从整体上归纳解题过程，留给学生一定时间，使其通过思考能明确认识“三步曲”各阶段的主要任务，并能简明地叙述出来，为对本节后续内容的整体把握作准备坐标法。 立体几何中的向量方法可以归纳为三步：( l ）把几何问题转化为向量问题；( 2 ）进行向量运算；〔 3 ）由向量运算解释几何问题。 一、问题探究 问题1 ：阅读课本上的例4 ，请你找出其中的已知条件和求解问题．这些求解问题能用向量方法解决吗？ 学生独立阅读并分析题意，教师引导学生认识到本题具有一定的综合性，需要证明直线与平面平行、垂直和计算二面角，而这些问题都可以利用向量解决． 问题2 ：从例4 的已知条件和求解问题看，你认为应怎样把问题向量化？如果建立坐标系，应怎样建立？ 教师引导学生关注己知条件中有“三条线段两两垂直且彼此相等”这一条件，使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、以线段长（正方形边长）为单位长度建立空间直角坐标系，并意识到这是适合本题的坐标化方法．教师要求学生写出点P , A ，Ｂ，Ｃ , D , E 的坐标．并进一步写出PA,PB 等的坐标． 问题3 ：考虑例4 ( 1 ) ，要证ＰＡ∥平面ＥＤＢ，应如何入手？ 教师从“ＰＡ∥平面ＥＤＢ”出发，启发学生考虑直线与平面平行的判定条件，引导学生通过讨论发现PA 与ＥＧ有平行关系，从而自然地想到写出 的坐标，并由＝k 证出ＰＡ∥ＥＧ ，进而证出ＰＡ∥平面ＥＤＢ。 问题4 ：考虑例4 ( 2 ) ，要证ＰＢ⊥平面ＥＦＤ，应如何人手？ 设计意图 有助于加强学生对解题通法的整体认识． 二、问题与探究 通过阅读题目，使学生明确题中所给出的条件和求解的问题，从需要完成的任务理出本题可以用向最解决的大体思路． 初步建立已知条件与求解内容两者间的联系，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题中条件建立适当坐标系的能力． 找出这条直线的过程可以锻炼直觉观察能力；证明两线平行可以巩固对直线的方向向量、共线向量等概念的理解． 找出这两条直线的过程可以锻炼分析已知教师从“ＰＢ⊥平面ＥＦＤ出发”，启发学生考虑直线与平而垂直的判条件以及看图能力；证定条件，让学生讨论：应证明PB 与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？ 明直线间的垂直关系的过程可以巩固对两在讨论的基础上，由学生自己写出主要证明过程，即ＰＢ⊥ＥＦ（已知） 非零向量的 “数量积为0 ”的几何意义的认· ＝０， ⊥ ， ＰＢ⊥ＤＥ ＰＢ⊥平面ＥＦＤ 问题5 ：考虑例4( 3 ) ，求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小，应如何人手？ 识。 计算二面角的大小，首先要找出其平面角，转而计算平面角的大教师从“计算二面角C 一PB 一D 的大小”出发，启发学生如何找出小．计算角的大小时，相应的平面角，让学生讨论：哪个角是二面角C 一PB 一D 的平面角，向量是非常有力的工用向量方法怎样计算它的大小？ 具．解决这个问题可以巩固对运用向量方法求角度的掌握． 教师引导学生考虑：点F 的坐标对计算是否垂要？怎样利用题中条件确定点F 的坐标？ 让学生通过讨论写出确定点F 坐标的过程，再进一步考虑并表达通过cos ∠EFD＝ 计算∠EFＤ 的过程 问题6 ：考虑例4 后的思考题． 学生结合刚讨论过的例题，对思考题进行思考和讨沦，教师适当点拨引导．注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法． 二、问题解答 解：如课本图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG 思考题1 可以使学生进一步体会向量方法中坐标化对简化计算所起的作用．思考题2 可以加强不同方法之间的联系． 依题意得A(1,0,0),P(0,0,1),11E(0,,)22因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，11 且PA?(1,0,?1),EG?(,0,?)所以PA?2EG，即PA//EG2211故点G的坐标为(,，0)22而EG?平面EDB,且PA?平面EDB 所以，PA//平面EDB （2）证明：依题意得B(1,1,0),PB?(1,1,?1)1111又DE?(0,,),故PB?DE?0???02222所以PB?DE由已知EF?PB,且EF?DE?E,所以PB?平面EFD 加深对不同方法（综合法、向量法、坐标法）的特点和联系的认识． （3）解：已知PB?EF,由（2）可知PB?DF,故?EFD是二面角C?PB?D的平面角。设点F的坐标为(x,y,z),则PF?(x,y,z?1)因为PF?kPB所以(x,y,z?1)?k(1,1,?1)?(k,k,?k)即x?k,y?k,z?1?k因为PB?DF?0所以(1,1,?1)?(k,k,1?k)?k?k?1?k?3k?1?0所以k?112点F的坐标为(，，)333111所以FE?(?,,?)3661311又点E的坐标为(0,,)22因为cos?EFD?FE?FDFEFD所以?EFD?60?,即二面角C?PB?D的大小为60?.1111121(?,,?)?(?,?,?)333?6?1?3661266?363 三、小结立体几何中的不同方法． 教师引导学生进行归纳，了解各种方法的特点及联系，认识到应根据问题的条件选择合适的方法，而不是生搬硬套． 三、训练与提高 1，练习题3 。 （解略） 2，如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，ACA?CB?CD?BD?2 AB?AD?2 O学生进行提高训练应用. D（I）求证：AO?平面BCD； BEC