中考数学专题复习练习（三）第2课时解三角形和三
角形相似
k j. co
第2课时 解三角形和三角形相似
1. (2016•北京)如图，在四边形 ABcD 中,ZABc = 90°Ac=AD,, N分别为Ac, cD的中点，连接氏N, BN. (1) 求证：B=N；
(2) 若ZBAD = 60° , Ac 平分ZBAD, Ac = 2,求 BN 的长.
解：(1)证明：在ZkcAD中，
V, N分别是Ac, cD的中点， ???N〃AD,且 N =12AD?
在 RtAABc 中，???是 Ac 的中点，.-.B=12Ac? 又 VAc=AD, AN=B.
(2) VZBAD = 60° ,且 Ac 平分ZBAD, AZBAc=ZDAc = 30° ?
由(1)知 B=12Ac=A=c.
A ZBc= ZBA+ ZAB = 2ZBA=60° ?
,
???N〃AD, A ZNc=ZDAc = 30° ? AZBN=ZBc+ZNc = 90° ?
ABN2=B2+N2 ?
由 ⑴知,N=B=12Ac = 12X2=l.
ABN=2.
2. (2016•白银)如图，已知 Ec^AB, ZEDA=ZABF. (1) 求证：四边形ABcD为平行四边形； (2) 求证：oA2 = oE•oF?
证明：(l)TEc〃AB,
AZc=ZABF.
又 VZEDA=ZABF,
AZc=ZEDA. .?- AD // Be ?
四边形ABcD是平行四边形.
(2) VEc/7AB, AoAoE = oBoD.
又 VAD^Bc, .-.oFoA=oBoD.
??? oAoE = oFoA,即 oA2 = oE• oF.
3. (2015•南充)如图，矩形纸片ABcD,将Z\\AP和厶 BPQ分别沿P和PQ折叠(AP>A)，点A和点B都与点E重合;
再将ACQD沿DQ折叠，点c落在线段EQ上点F处. ⑴判断AAP, ABPQ, AcQD和AFD中有哪几对相似三角形？ (不需说明理由)
(2)如果A=l, sinZDF=35,那么AB的长为6?
解：（1）有三对相似三角形，即厶APc-ABPQc-AcQD. ⑵设AP = x,由折叠关系可得BP=AP = EP = x, AB=Dc = 2x, A=l. 由厶AP^ABPQ,得 ABP=APBQ,即 BQ = x2? 由厶AP^AcQD,得
APcD=AcQ,即 cQ = 2. AD = Bc=BQ+cQ=x2 + 2, D=AD—A = x2 + 2 —l=x2 + l.
又???在 RtAFD 中，sinZDF=35,
DF=Dc = 2x,
.e.sinZDF=DFD = 2xx24-l = 35 ? 解得x = 3或x=13（不合题意，
舍去）.
AB = 2x = 6.
4. （2016•唐山路北区模拟）如图，在等腰AABc中, ZAcB = 90° , Ac=Bc = 2,点D是边Ac的中点，点E是斜 边AB
上的动点，将AAED沿DE所在的直线折叠得到AAIDE.
（1） 当点A1落在边Be （含边Be的端点）上时，折痕DE的
长是 多少？
（2） 连接A1B,当点E在边AB上移动时，求A1B长的最小
值.
解：（1） 丁点D到边Be的距离是Dc=DA=l,
?:点A1落在边Be上时，点A1与点c重合,如备用图所示?此
时，DE为Ac的垂直平分线，即DE为AABc的中位线，
???DE=12Bc = l? (2)连接BD.
在 RtABcD 中，BD = Bc2 + cD2 = 5. 由厶AIDE^AADE,可得 A1D=AD=1. 由 A1B+A1D三BD,得 A1B^BD-A1D = 5-1.
AA1B长的最小值是5-1.
5. (2015•资阳)E, F分别是正方形ABcD的边De, cB 上的
点，且DE=cF,以AE为边作正方形AEHG, HE与Be交 于点Q,连接DF.
(1) 求证：AADE^ADeF；
⑵若E是cD的中点，求证：Q为cF的中点； ⑶连接 AQ,设 SAcEQ = Sl, SAAED = S2, SAEAQ = S3,在
(2) 的条件下，判断S1+S2 = S3是否成立？并说明理由.
解：(1)证明：???四边形ABeD是正方形，
AAD = cD, ZADE=ZDcF=90° ? VDE = cF,
AAADE^ADcF(SAS)?
(2)证明：?.?四边形AEHG是正方形，.?.ZAEH=90°AZAED+ZQEc = 90° ?
VZADE = 90° , .-.ZAED+ZEAD = 90° ? AZQEc=ZEAD.
/. AADE^ AEcQ. .\\cQDE=cEAD.
VcEAD = DEAD =12, Z.cQDE=cQcF=12?
???点Q是cF中点.
(3) S1+S2 = S3 成立.
理由：VAADE^AEcQ, AcQDE=QEAE. 又 VDE = cE, .e
.cQcE = QEAE.
VZc=ZAEQ=90° , ???△AEQS/XECQ.
.
中考数学专题复习练习(三)第2课时解三角形和三角形相似.docx
