――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
三角函数
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示： （1）注意：?终边与?终边相同(?的终边在?终边所在射线上)?????2k?(k?Z)，相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角?1825?的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
36（2）?终边与?终边共线(?的终边在?终边所在直线上) ?????k?(k?Z).
（答：?25?；?5?）
（3）?（4）?（5）?（6）???k???2终边与?终边关于x轴对称??????2k?(k?Z). 终边与?终边关于y轴对称???????2k?(k?Z). 终边与?终边关于原点对称???????2k?(k?Z).
终边在x轴上的角可表示为：??k?,k?Z；?终边在y轴上的角可表示为：
,k?Z；?终边在坐标轴上的角可表示为：??k?2,k?Z.如?的终边与
?3?6的
终边关于直线y?x对称，则?＝____________。
（答：2k??2,k?Z）
4、?与?的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若?是第二象限角，则
?2是第_____象限角
（答：一、三）
5.弧长公式：l?|?|R，扇形面积公式：S?1lR?1|?|R2，1弧度(1rad)?57.3?. 如
22已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：2cm2）
6、任意角的三角函数的定义：设?是任意一个角，P(x,y)是?的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是r?tan??yx,?x?0?，cot??x?y?0rx22??，那么sin?ryyr,c?o?sxr，
xy(y?0)，sec???x?0?，csc??y?0?。三角函数值只
与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如
（1）已知角?的终边经过点P(5，－12)，则sin??cos?的值为＿＿。
（答：?713）；
（2）设?是第三、四象限角，sin??2m?34?m，则m的取值范围是_______
（答：（－1，)）；
23（3）若
|sin?|sin??cos?|cos?|?0，试判断cot(sin?)?tan(cos?)的符号
（答：负）
7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在
、正切线AT“站在点A(1,0)处(起点是x轴上(起点是原点)”
)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和
三角不等式。如
Ay T B S P α O M A x 解
（1）若?_____
?8???0，则sin?,cos?,tan?的大小关系为
(答：tan??sin??cos?)； （2）若?为锐角，则?,sin?,ta?n的大小关系为_______
（答：sin????tan?）；
（3）函数y?1?2cosx?lg(2sinx?3)的定义域是_______
（答：(2k??8.特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sin??3,2k??2?3](k?Z)）
0° 0 1 90° 1 0 0 180° 0 －1 0 270° －1 0 0 15° 6?46?42275° 6?46?422 12 2222 3212 cos? 32 tan? 3331 1 30 2-3 2+3 2+3 2-3 cot?33 9. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：sin2??cos2??1,1?tan2??sec2?,1?cot2??csc2? （2）倒数关系：sin?csc?=1,cos?sec?=1,tan?cot?=1, （3）商数关系：tan??sin?cos?,cot??cos?sin?
同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如
（1）函数y?sin??tan?cos??cot?的值的符号为____
（答：大于0）；
（2）若0?2x?2?，则使1?sin22x?cos2x成立的x的取值范围是____
（答：[0,（3）已知sin??m?3m?5?4]?[34； ?,?]）
，cos??4?2m?(????)，则tan?m?52＝____
（答：?512）；
（4）已知
tan?tan??1??1，则
sin??3cos?sin??cos?＝___；sin2??sin?cos??2＝____
（答：?53；
135）；
（5）已知sin200??a，则tan160?等于 A、?a1?a2 B、
a1?a2 C、?1?aa2 D、
1?aa2
（答：B）；
（6）已知f(cosx)?cos3x，则f(sin30?)的值为______
（答：－1）。
10.三角函数诱导公式（???）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或
2k偶数），符号看象限（看原函数，同时可把?看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角
的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k?+?,0???2?；(2)转化为锐角三角函数。如
（1）cos9?4?tan(?7?6)?sin21?的值为________
（答：
22?33）；
（2）已知sin(540???)??[sin(180?45，则cos(??270?)?______，若?为第二象限角，则
??)?cos(??360)]tan(180??)??2?________。
（答：?45；?3100）
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
sin??????sin?cos??cos?sin?????sin2??2sin?cos?
令???cos??????cos???cos??sin?sin?????cos2??cos??sin?22令???22 ? ?2cos??1?1?2sin? tan????tan??tan?1?tan?tan? ?cos?＝221+cos2?21?cos2?2
? sin?＝ tan2??2tan?1?tan?122如（1）下列各式中，值为的是
A、sin15?cos15? B、cos2 C、
tan22.52???12??sin2?12
1?tan22.5 D、1?cos302 （答：C）； （2）命题P：tan(A?B)?0，命题Q：tanA?tanB?0，则P是Q的 A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
（答：C）； （3）已知sin(???)cos??cos(???)sin??35，那么cos2?的值为____
（答：
725）；
（4）
1sin10??3sin80?的值是______
（答：4）；
(5)已知tan1100?a，求tan500的值（用a表示）甲求得的结果是的结果是
1?a2a2a?1?33a，乙求得
，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______
（答：甲、乙都对）
12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，
2??(???)?(???)，????2????2，
)????2?????2，如 ?????等）
?2?（1）已知tan(???)?25，tan(???414，那么tan(???4)的值是_____
（答：
322）；
（2）已知0???值
?2????，且cos(???2)??19，sin(?2??)?23，求cos(???)的
490729（答：
（3）已知?,?为锐角，sin??x,cos??y，cos(???)??为______
（答：y??(2)三角函数名互化(切割化弦)，如 （1）求值sin50?(1?3tan10?)
351?x?2）；
35，则y与x的函数关系
4535x(?x?1)）
（答：1）；
（2）已知
sin?cos?1?cos2??1,tan(???)??23，求tan(??2?)的值
（答：）
81(3)公式变形使用（tan??tan??tan??????1?tan?tan??。如
（1）已知A、B为锐角，且满足tanAtanB?tanA?tanB?1，则cos(A?B)＝_____
（答：?(2)设?ABC中，tanA?tanB?3?3tanAtanB，sinAcosA?____三角形
（答：等边）
(4)三角函数次数的降升(降幂公式：cos2??1?cos2?222）；
34，则此三角形是
，sin2??1?cos2?2与升幂公
式：1?cos2??2cos2?，1?cos2??2sin2?)。如
(1)若??(?,?)，化简2312?1212?12cos2?为_____
（答：sin（2）函数f(x)?5sinxcosx?53cos2x?523(x?R)的单调递增区间为____
?2）；
（答：[k??(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如 （1）tan?(cos??sin?) ?sin??tan?cot??csc??12,k??5?12](k?Z)）
（答：sin?）；
（2）求证：
1?sin?1?2sin21?tan?1?tan??2；
?22
三角函数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】
