n(ad?bc)2?1.83，…………………5分 由列联表数据代入公式得K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2因为1.83<2.706，
故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关. ………………………… 6分
C327(Ⅱ) 用A表示“至少有1人在青春组”，则p(A)?1?2?. …………… 8分
C510(III)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为
1222?，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所取总体数量较多，30552抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是?服从二项分布B(4,).
5………………………10分
k显然?的取值为0，1，2，3, 4 . 且P(??k)?C4()k(1?)4?k,k?0,1,2,3,4.
2525所以得分布列为：
? P
数学期望E??4?
0 1 2 3 4
81 625216 625216 62596 62516 62528…………………………12分?55
19.（Ⅰ）设点D在平面ABC上的射影为点E，连接DE，则DE?平面ABC， ∴DE?BC.………………………………………………………………………2分 ∵四边形ABCD是矩形，∴AB?BC，∴BC?平面ABD，∴BC?AD. ………………………………………………………………………………………4分
又AD?CD，所以AD?平面BCD，而AD?平面ABD，∴平面ABD?平面BCD. ………………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设AD?a，则AB?2a，∴A(0,2a,0)，C(a,0,0).
由（Ⅰ）知AD?BD，又
AB?2，∴?DBA?30?，?DAB?60?， AD313a， a，BE?AB?AE?a，DE?AD?sin?DAB?222∴AE?AD?cos?DAB?uuuruuur3313a)，∴AD?(0,?a,a)，AC?(a,?2a,0).………………8分 ∴D(0,a,2222ur设平面ACD的一个法向量为m?(x,y,z)，
uruuur?13?m?AD?0?az?0,??ay?则?u，即?2 ruuur2??ax?2ay?0.?m?AC?0?ur不妨取z?1，则y?3，x?23，∴m?(23,3,1).
r而平面ABC的一个法向量为n?(0,0,1)，…………………………………………10分
urrurr1m?n1rr??. ∴cosm,n?u|m||n|(23)2?(3)2?124故二面角D?AC?B的余弦值为
1.…………………………………………………12分 4
(x?3)2?y23?Ax,y??20.解(I)设，由题意，|x?4|2， ……………………………2分
x2y2化简得x?4y?12，…（3分）所以，动点A的轨迹C的方程为??1.… 4分
12322y1y21??4，………6分 (Ⅱ)解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则由斜率之积，得x1x2|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2，因为点M,N在椭圆C上，
2x122x22?12． …………………………8分 ,y2?3?.化简得x12?x2所以y?3?4421直线AB的方程为(y2?y1)x?(x2?x1)y?x2y1?x1y2?0，原点O到直线MN的距离为
d?|x1y2?x2y1|(x2?x1)?(y2?y1)22.
所以，?MON的面积S?AOB?11?|AB|?d?|x1y2?x2y1|， 22根据椭圆的对称性，四边形MNPQ的面积S?2|x1y2?x2y1|，……10分 所以，S?4(x1y2?x2y1)?4(x1y2?2x1x2y1y2?x2y1)
212(x12?x2)?144，所以S?12.
222222所以，四边形MNPQ的面积为定值12． ……………………………………12分
21.解析：（Ⅰ）当a?1时，曲线y?f?x??g?x??xlnx. x?1y???1?lnx??x?1??xlnx?lnx?x?1.………………………2分
22?x?1??x?1?
1x?1时，切线的斜率为，又切线过点?1,0?
2所以切线方程为x?2y?1?0…………………………4分 （Ⅱ）f??x??111,()??， 2axg?x??x?1?2?x?1??ax,111F??x??f??x??()????………5分 22g?x?ax?x?1?ax?x?1?当a?0时，F??x??0，函数F?x?在?0,???上单调递减；………………………7分 当a?0时，令k?x??12?2?14x???1?x?，??1?, aaa?a?当??0时，即0?a?4，k?x??0，此时F??x??0，函数F?x?在?0,???上单调递增; 当??0时，即a?4，方程
12?2?1x???1?x??0有两个不等实根x1?x2， aa?a??a?2?a2?4aa?2?a2?4a?,x2?所以0?x1?1?x2，?x1??
??22??此时，函数F?x?在?0,x1?,?x2,???上单调递增；在?x1,x2?上单调递减.……………11分 综上所述，当a?0时，F?x?的单减区间是?0,???；
?a?2?a2?4aa?2?a2?4a?,当a?4时，F?x?的单减区间是??，
??22???a?2?a2?4a??a?2?a2?4a?,???单增区间是?0,?,????? 22????当0?a?4时，F?x?单增区间是?0,???.………………………12分 22.（Ⅰ）C的直角坐标方程为x2?(y?a)2?a2， ………………………2分
消t得到4x?3y?5?0………………………………………4分
（Ⅱ）要满足弦AB?3a及圆的半径为a可知只需圆心（0，a）到直线l的距离d?点到直线的距离公式有：?3a?5?1…………7分
a2
1a即可。由2422?(?3)2整理得：11a?120a?100?0,即(11a?10)(a?10)?0解得：故实数a的取值范围为
10?a?10， 1110?a?10……………………………………10分 11?1?3x,x??1,23.解：（Ⅰ）当a＝－2时，f(x)＝??3?x,?1?x?1,………………………3分
?3x?1,x?1.? 由f(x)的单调性及f(－
4
)＝f(2)＝5， 3
得f(x)＞5的解集为{x|x＜－（Ⅱ）由f(x)≤a|x＋3|得a≥由|x－1|＋|x＋3|≥2|x＋1| 得
4
，或x＞2}．……………………………………5分 3
|x?1|………………………7分 ,|x?1|?|x?3|
1 1 |x?1|≤，得a≥． 2|x?1|?|x?3|2
故a的最小值为．
12
………………………………10分
河南郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学试卷(含答案)
