【最新】数学《函数与导数》复习知识点
一、选择题
1．函数f?x??（ ） A．1?sinx?cosx1?sinx?cosx1?????tanx?0?x??的最小值为
1?sinx?cosx1?sinx?cosx32??53 32?43 343 31?62 3B．C．D．【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数f?x?，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
xxxxxx?2sincos2cos2?2sincos1?sinx?cosx1?sinx?cosx222?222 ??1?sinx?cosx1?sinx?cosx2cos2x?2sinxcosx2sin2x?2sinxcosx2222222sin2x?xx?x?xx?2sin?sin?cos?2cos?sin?cos?sinxcosx2?22?2?22?2?2?2， ???xxsinxx?xx?x?xx?cossin2cos?sin?cos?2sin?sin?cos?222?22?2?22?则f?x??21????tanx?0?x??， sinx32????2cosx1?6cos3x?cos2x?1?2?1?sinx?. f(x)??????????2222sinx3cosx3sinxcosx?sinx?3?cosx???1?32gt?cosx?0,1gt??6t?t?1令为减函数，且???0， ??，???2?所以当0?x?当
?3时，
1?t?1,g?t??0，从而f'?x??0； 21,g?t??0，从而f'?x??0. 2?3?x??2时，0?t?故f?x?min?f?故选：A 【点睛】
???53. ??3?3?本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
2．函数f?x??x?xsinx的图象大致为（ ）
2A． B．
C． D．
【答案】A 【解析】 【分析】
分析函数y?f?x?的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间?0,???上的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】
因为f??x????x????x?sin??x??x2?xsinx?f?x?，且定义域R关于原点对称，所以函数y?f?x?为偶函数，故排除B项；
2f?x??x2?xsinx?x?x?sinx?，设g?x??x?sinx，则g??x??1?cosx?0恒成
立，所以函数y?g?x?单调递增，所以当x?0时，g?x??g?0??0， 任取x1?x2?0，则g?x1??g?x2??0，所以，x1g?x1??x2g?x2?，
?f?x1??f?x2?，
所以，函数y?f?x?在?0,???上为增函数，故排除C、D选项. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3．已知f(x)?x(x?1)，若关于x方程[f(x)]2?(2m?1)f(x)?m2?m?0恰有4|lnx|个不相等的实根，则实数m的取值范围是（ ）
?1?A．?,2??(2,e)
?e?【答案】C 【解析】 【分析】
?1?B．??1,e?
?e?C．(e?1,e)
?1?D．?,e?
?e?由已知易知f(x)?m与f(x)?m?1的根一共有4个，作出f(x)图象，数形结合即可得到答案. 【详解】
22由[f(x)]?(2m?1)f(x)?m?m?0，得f(x)?m或f(x)?m?1，由题意f(x)?m
与f(x)?m?1两个方程的根一共有4个，又f(x)的定义域为(0,1)?(1,??)，所以
f(x)?'lnx?1xxx''x?e， ?，令g(x)?，则g(x)?2，由g(x)?0得
(lnx)|lnx|lnxlnx由g(x)?0得1?x?e或0?x?1，故g(x)在(0,1),(1,e)单调递减，在(e,??)上单调递 增，由图象变换作出f(x)图象如图所示
?0?m?e要使原方程有4个根，则?，解得e?1?m?e.
m?1?e?故选：C 【点睛】
本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道中档题.
4．在二项式(x?2a6)的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2xy=x2和圆x2?y2?a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）
A．
?4?1 6B．
?1? 46
C．
? 4D．
1 6【答案】B 【解析】 【分析】
用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】
ra6r?a?（x2+）展开式中，由通项公式可得Tr?1?C6x?rx12?2r , ??2x?2??a?4?a?令12﹣3r＝0，可得r＝4,即常数项为C??，可得C6??＝15，解得a＝2．
?2??2?4644曲线y＝x2和圆x2+y2＝2的在第一象限的交点为（1，1） 所以阴影部分的面积为故选：B 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
?4-??x-x2?dx?01??11??1??x2?x3?|1??． 04?23?46
44－x2
5．已知函数f（x）＝（k＋）lnx＋，k∈[4，＋∞），曲线y＝f（x）上总存在两
kx
点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1＋x2的取值范围为
8，＋∞） 5【答案】B 【解析】 【分析】
A．（
B．（
16，＋∞） 5C．[
8，＋∞） 5D．[
16，＋∞） 5利用过M、N点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x1+x2
的取值范围． 【详解】
4?4?4??2x?k?x?4x?kx?4k???????=﹣由题得f′（x）=k?k?，（x＞0，k＞k﹣2﹣1=﹣??xxx2x20）
由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），
444k?4即﹣1=k?k﹣2﹣1，
x22x1x1x2k?化简得4（x1+x2）=（k+而x1x2＜(4）x1x2， kx1?x22)， 2x?x224)， ）(1k24（x1+x2）＜（k+
16即x1+x2＞
k?4对k∈[4，+∞）恒成立， k令g（k）=k+
4， k4?k?2??k?2?=＞0对k∈[4，+∞）恒成立， k2k2则g′（k）=1﹣
∴g（k）≥g（4）=5， ∴
164≤， k?5k16∴x1+x2＞
16， 516，+∞）. 5故x1+x2的取值范围为（故答案为B 【点睛】
本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题
的关键，属于中档题.
a2?b26．已知函数f(x)?lgx，a?b?0，f(a)?f(b)，则的最小值等于（ ）．
a?b
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《函数与导数》全集汇编含答案解析
