1.4 全称量词与存在量词
学 习 目 标 1．理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义． 2．掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点、难点) 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点) 核 心 素 养 1．通过全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题相关概念的学习，培养学生数学抽象核心素养． 2．借助相关命题的真假判断及由命题的真假求参数，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养．
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示． (2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示． (2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“?x0∈M，p(x0)”．
思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] (1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax20＋2x0＋1＝0”． (2)是全称命题，可改写成：“?x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”． 3．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定p：?x0∈M，p(x0)； 特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定p：?x∈M，p(x)． 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
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1．下列命题中全称命题的个数是( ) ①任意一个自然数都是正整数； ②所有的素数都是奇数； ③有的等差数列也是等比数列； ④三角形的内角和是180°． A．0 C．2
B．1 D．3
D [命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．]
2．下列命题中特称命题的个数是( ) ①至少有一个偶数是质数； ②?x0∈R，log2x0＞0； ③有的向量方向不确定． A．0 C．2
B．1 D．3
D [①中含有存在量词“至少”，所以是特称命题；②中含有存在量词符号“?”，所以是特称命题；③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．]
3．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“是( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根 C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根 [答案] C
4．命题“?x0∈R，x20＋x0＋1≤0”的否定是________． [答案] ?x∈R，x2＋x＋1>0
p”形式的命题
全称命题和特称命题的概念及真假判断
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【例1】 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假． (1)?x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x0∈R，使
1
＝0； x0－1
(3)能被5整除的整数末位数是0； (4)有一个角α，使sin α>1．
[解] (1)是全称命题，因为?x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． 1
(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
x0－1(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题． (4)是特称命题，因为?α∈R，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．
1．判断命题是全称命题还是特称命题的方法 (1)分析命题中是否含有量词； (2)分析量词是全称量词还是存在量词；
(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断． 2．全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
(2)要判定特称命题“?x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．
[跟进训练]
1．(1)判断下列命题是全称命题还是特称命题？ ①凸多边形的外角和等于360°； ②有的向量方向不定；
③对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1； ④有些素数的和仍是素数；
⑤若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． (2)判断下列命题的真假：
①p：任意等比数列的公比不能等于0；
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高中数学第1章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词教学用书教案新人教A版选修2_1
