1.4 全称量词与存在量词
学 习 目 标 1.理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义. 2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定.(重点、难点) 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点、易混点) 核 心 素 养 1.通过全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题相关概念的学习,培养学生数学抽象核心素养. 2.借助相关命题的真假判断及由命题的真假求参数,提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.
1.全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示. (2)含有全称量词的命题叫做全称命题,通常将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M,p(x).
2.存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做特称命题,特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,可用符号简记为“?x0∈M,p(x0)”.
思考:(1)“一元二次方程ax2+2x+1=0有实数解”是特称命题还是全称命题?请改写成相应命题的形式.
(2)“不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题?请改写成相应命题的形式.
[提示] (1)是特称命题,可改写为“存在x0∈R,使ax20+2x0+1=0”. (2)是全称命题,可改写成:“?x∈R,(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0”. 3.含有一个量词的命题的否定
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题p:?x∈M,p(x),它的否定p:?x0∈M,p(x0); 特称命题p:?x0∈M,p(x0),它的否定p:?x∈M,p(x). 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
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1.下列命题中全称命题的个数是( ) ①任意一个自然数都是正整数; ②所有的素数都是奇数; ③有的等差数列也是等比数列; ④三角形的内角和是180°. A.0 C.2
B.1 D.3
D [命题①②含有全称量词,而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”,故有三个全称命题.]
2.下列命题中特称命题的个数是( ) ①至少有一个偶数是质数; ②?x0∈R,log2x0>0; ③有的向量方向不确定. A.0 C.2
B.1 D.3
D [①中含有存在量词“至少”,所以是特称命题;②中含有存在量词符号“?”,所以是特称命题;③中含有存在量词“有的”,所以是特称命题.]
3.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则“是( )
A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根 B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根 C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实根 D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实根 [答案] C
4.命题“?x0∈R,x20+x0+1≤0”的否定是________. [答案] ?x∈R,x2+x+1>0
p”形式的命题
全称命题和特称命题的概念及真假判断
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【例1】 指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假. (1)?x∈N,2x+1是奇数; (2)存在一个x0∈R,使
1
=0; x0-1
(3)能被5整除的整数末位数是0; (4)有一个角α,使sin α>1.
[解] (1)是全称命题,因为?x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题. 1
(2)是特称命题.因为不存在x0∈R,使=0成立,所以该命题是假命题.
x0-1(3)是全称命题.因为25能被5整除,但末位数不是0,因此该命题是假命题. (4)是特称命题,因为?α∈R,sin α∈[-1,1],所以该命题是假命题.
1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法 (1)分析命题中是否含有量词; (2)分析量词是全称量词还是存在量词;
(3)若命题中不含量词,要根据命题的意义去判断. 2.全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)要判定全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.
(2)要判定特称命题“?x0∈M,p(x0)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题就是假命题.
[跟进训练]
1.(1)判断下列命题是全称命题还是特称命题? ①凸多边形的外角和等于360°; ②有的向量方向不定;
③对任意角α,都有sin2α+cos2α=1; ④有些素数的和仍是素数;
⑤若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直. (2)判断下列命题的真假:
①p:任意等比数列的公比不能等于0;
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高中数学第1章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词教学用书教案新人教A版选修2_1
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