2024年
【2024最新】精选高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第3节简
单的线性规划高考AB卷理
简单的线性规划问题
1.(2013·全国Ⅱ，9)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于( ) A. C.1
B. D.2
解析 作出约束条件表示的可行域如图所示，是△ABC的内部及边界. 由目标函数，得y＝－2x＋z，
当直线l：y＝－2x＋z过点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1. ∴2－2a＝1，则a＝. 答案 B
2.(2016·全国Ⅲ，13)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________. 解析 满足约束条件的可行域为以A(－2，－1)，B(0，1)，C为顶点的三角形内部及边界，过C时取得最大值为. 答案
3 23.(2016·全国Ⅰ，16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
解析 设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他
2024年
限制条件，得线性约束条件为目标函数z＝2 100x＋900y.
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000
4.(2015·全国Ⅰ，15)若x，y满足约束条件则的最大值为________. 解析 约束条件下的可行域如下图，由＝，则最大值为3. 答案 3
5.(2014·大纲全国，14)设x、y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________. 解析 作出约束条件下的平面区域，如图所示.由图可知当目标函数z＝x＋4y经过点B(1，1)时取得最大值，且最大值为1＋4×1＝5. 答案 5
与线性规划有关的综合性问题
6.(2014·全国Ⅰ，9)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2， p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2， p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3， p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是( ) A.p2，p3 C.p1，p2
B.p1，p4 D.p1，p3
解析 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C. 答案 C
简单的线性规划问题
1.(2015·广东，6)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为( )
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A. C.
B.6 D.4
解析 不等式组所表示的可行域如下图所示，
由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依题当目标函数直线l：y＝－x＋经过A时，z取得最小值即zmin＝3×1＋2×＝，故选C. 答案 C
2.(2015·北京，2)若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为( ) A.0 B.1 C.
D.2
解析 可行域如图所示.目标函数化为y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z，过点A(0，1)时，z取得最大值2. 答案 D
3.(2015·福建，5)若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于( ) A.－ C.－
B.－2 D.2
解析 如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z＝2x－y可化为y＝2x－z，由图形可知当y＝2x－z过点时z最小，zmin＝2×(－1)－＝－，故选A. 答案 A
4.(2015·山东，6)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( ) A.3 C.－2
B.2 D.－3
解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示. 易知A(2，0)，由得B(1，1). 由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2，0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.
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答案 B
5.(2015·陕西，10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A(吨) B(吨) 甲 3 1 乙 2 2 原料限额 12 8 A.12万元 C.17万元
B.16万元 D.18万元
解析 设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，
3x＋2y≤12，??x＋2y≤8，由已知可得?
x≥0，??y≥0，目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示： 可得目标函数在点A处取到最大值. 由得A(2，3).
则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D
6.(2014·广东，3)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( ) A.5 C.7
B.6 D.8
解析 作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A时，z的值最大，由?则m＝zmax＝2×2－1＝3.当直线y＝－2x＋z经过点B时，z的值最小，由?则n＝zmin＝2×(－1)－1＝－3，故m－n＝6. 答案 B
7.(2014·安徽，5)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则
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实数a的值为( ) A.或－1 C.2或1
B.2或 D.2或－1
解析 法一 由题中条件画出可行域，可知A(0，2)，B(2，0)，C(－2，－2)，则zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，解得a＝－1或a＝2.
法二 目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意，故a＝－1或a＝2. 答案 D
8.(2016·山东，4)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( ) A.4 C.10
B.9 D.12
解析 满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界)，x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0，0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C. 答案 C
9.(2016·北京，2)若x，y满足则2x＋y的最大值为( ) A.0 C.4
B.3 D.5
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由得所以A点坐标为(1，2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4. 答案 C
10.(2014·湖南，14)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.
解析 画出可行域(图略)，由题意可知不等式组表示的区域为一三角形，平移参照
2024高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第3节简单的线性规划高考AB卷理
