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第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C
一、填空题（每小题 10 份，共 80 分）
1. 计算：
3.2-2.952?0.3+=_____ 120.25?2+2.3-145
【答案】1
【考点】计算：分数小数综合运输 【解析】
原式?0.250.6?0.750.9 12??33?1
2. 在右边的算式中，每个汉字代表 0 至 9 这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字，则“ 数学竞赛 ”所代表的四位数是________．
【答案】1962
【考点】组合：数字谜 【解析】
遇到减法数字谜通常变成加法会更利于分析：
?竞赛数学竞赛 2024赛?赛个位为4，所以赛为2或7，若赛为7则会进位，和的十位只能是奇数，所以赛?2；
竞?竞个位为2，若竞?2，原式为12?2012?2014，有重复数字；所以竞?6，数学竞赛?1962．
3. 如下图，在直角三角形 ABC 中，点 F 在 AB 上且 AF ??2 FB ，四边形 EBCD 是平行四边形，那么 FD : EF为________．
【答案】2:1
【考点】几何：沙漏模型 【解析】
∵AC∥BE
由沙漏模型可知 FD:EF?AF:FB?2:1
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4. 下图是由若干块长 12 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒 2 厘米，向下爬行的速度为每秒 3 厘米，水平爬行的速度为每秒4 厘米，则蚂蚁至少爬行了多少秒？
【答案】40秒
【考点】组合：最值问题 【解析】
要想时间最少，则需要按如图中的粗线爬行；蚂蚁向上、向下爬行的最短路程是12?2?6?2?36厘米，水平爬行的路程是12?3?2?2?40厘米，所以至少用时36?2?36?3?40?4?40秒
5. 设 a ，b， c，d ，e均是自然数，并且 a ??b?? c??? d??? e??， a ???b??c??4d??5e??300 ， 则 a ? b的最大值为________．
【答案】35
【考点】组合：最值问题 【解析】
a和b是五个数中最小的两个，要想a?b最大，则希望这五个数尽量接近，先估算再局
部
调
整
；
300??1?2?3?4?5??20，
大
，于
则先300
让，
c?20．得
而：
18?2?19?3?20?4?21?5?22?310a?b的最大值17?18?35．
调整
17?2?18?3?19?4?20?5?21?295，离300差5，则最后让5e?5?22即可．所以
也可通过计算证明a?b最大只能取到35：
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300?a?2b?3c?4d?5e?a?2b?3(b?1)?4(b?2)?5(b?3)?a?14b?26?a?6(a?1)?7b?b?26?7(a?b)?b?32?可得a?b?35 15(a?b)?32211 15
6. 现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台 A 型水泵单独向甲水池注水，一台 B 型水泵单独向乙水池注水，一台 A 型和一台 B 型水泵一期向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多 4 个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多 5 个小时，则注满丙水池的三分之二需要________个小时．
【答案】4
【考点】应用题：工程问题 【解析】
设注满丙池用
x小时，则注满乙池用时?x?4?小时，注满甲池用时?x?9?小时；利用丙
池工效应该等于甲乙两池工效之和可得：
111??x?4x?9xx?9?x?41??x?4??x?9?x 2x?131?x2?13x?36x2x2?13x?x2?13x?36x2?36x?6所以注满丙池的三分之二需要6?2?4小时 3注:通常工程问题都设工效为未知数，但此题如果设工效，则方程非常难解，需要用到初中知识因式分解中的十字交叉法，对于小学生来说是无法做的．而本题解法比较巧妙，设丙池的时间，最终只需要解x2常规，寻求出路．
?36即可，所以有时候还是需要有突破性的思维，学会打破
7. 用八块棱长为 1cm 的小正方体堆成一个立体图形，其俯视图如下图所示，则共有 ________种不同的堆法．（经过旋转能重合的算一种堆法）
【答案】10
【考点】计数：分类枚举 【解析】
法一：（先每列放几块讨论）
可以直接分类枚举，也可以先再每个位置放一块，这样只需要分析剩下4块的方法即可 4?4?0?0?0，1种；
40 00.
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4?3?1?0?0，3种，
311330，（这两个不一样，此题的易错点）， 0000012220， 0002200221，， 11111011． 114?2?2?0?0，2种，
4?2?1?1?0，3种，
4?1?1?1?1，1种，
共：1?3?2?3?1?10种
法二：（按每层放几块讨论）
底层已用了四块小方体，考虑第二层分别有一、二、三、四块的情况．见下图，第二层有一块，只有1种堆法；第二层有两块，有5种堆法；第二层有三块，有3种堆法；第二层有四块，只有1种堆法．
总计有10种堆法．
8. 如图， 在三角形 ABC 中，AF ??2 BF ，CE ??3 AE ，CD ??4 BD ， 连接 CF 交 DE 于 P 点，则
EP?_____ DP .
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【答案】
15 8【考点】几何：风筝模型 【解析】
AEFB
PCD连接DF和EF． 因
为
AF?2BF，所以
1S△BCF?S△ABC3,又因为CD?4BD，
4414S△DCF?S△BCF??S△ABC?S△ABC；
55315同理可得S△EFC?EPS△EFC1?S△ABC；所以
DPS△DCF21S△ABC152??．
4S△ABC815注：填空题所以直接使用了风筝模型的结论，如果是解答题同学们最好自己证明一次．
二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）
9. 有三个农村在一条公路边， 分别在下图所示的 A ，B 和C 处．A 处农场年产小麦 50 吨，B 处农场年产小麦 10 吨，C处农场年产小麦 60 吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦，假设运费从 A 到 C 方向是每吨每千米 1.5 元，从 C 到 A 方向每吨每千米 1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？
【答案】A处
【考点】应用题：分类讨论 【解析】
讨论变化趋势，比较A、B两点设仓库可知A→B运费越来越高，而B→A则运费越来越低，同理可知C→B运费越来越低，而B→C则运费越来越高． 具体比较三点：
若建在A处，运费为：60?（500?1200）?1?10?500?1?107000元 若建在B处，运费为：60?1200?1?50?500?1.5?109500元
若建在C处，运费为：50?（500?1200）?1.5?10?1200?1.5?14550元
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华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C
