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2014年全国高中数学联赛试题及答案

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由(1)知直线

AB的方程为y?y0?3(x?2),即 y0x?(2)代入

y0(y?y0)?2. (2) 3y2?6x得y2?2y0(y?y0)?12,即

2y2?2y0y?2y0?12?0. (3)

依题意,

y1,y2是方程(3)的两个实根,且y1?y2,所以

222??4y0?4(2y0?12)??4y0?48?0,

?23?y0?23.

y

AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2(1?(y02))(y1?y2)23

A ?B2y0 ?(1?)[(y1?y2)2?4y1y2]

92y022 ?(1?)(4y0?4(2y0?12))

9OC(5,0)x ?222(9?y0)(12?y0) . 3 定点C(5,0)到线段AB的距离

.

h2?CM?(5?2)2?(0?y0)2?9?y0 S?ABC?11222AB?h?(9?y0)(12?y0)?9?y023

?11222(9?y0)(24?2y0)(9?y0)

32

222?24?2y0?9?y0119?y0 ?()3323 ?147 . 3 6

当且仅当

229?y0?24?2y0,即

y0??5,

A(6?356?35,5?7),B(,5?7)33或

A(6?356?35,?(5?7)),B(,?5?7)时等号成立. 33所以,?ABC面积的最大值为

147. 3,则

11.令

f(x)?2x3?5x?2f?(x)?6x2?5?0,所以

f(x)是严格递增的.又

131f(0)??2?0,f()??0,故f(x)有唯一实数根r?(0,).

242所以 2r3?5r?2?0,

2r??r?r4?r7?r10?351?r故数列an.

?3n?2(n?1,2,?)是满足题设要求的数列.

?a2???an??和b1?b2???bn??满足

若存在两个不同的正整数数列a1ra1?ra2?ra3???rb1?rb2?rb3???去掉上面等式两边相同的项,有

2, 5rs1?rs2?rs3???rt1?rt2?rt3??,

这里s1?s2?s3??,t1?t2?t3??,所有的si与tj都是不同的.

不妨设s1?t1,则

1?rt1?s1rs1?rs1?rs2???rt1?rt2??,

11?rt2?s1???r?r2????1??1?1,

11?r1?2矛盾.故满足题设的数列是唯一的.

加 试

1. (40分)如图,锐角三角形ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边BC的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A,B,D,C四点共圆.

BEKDCOA 7

MPQN

2. (40分)设k是给定的正整数,r?k?1(l?1)(l)(1)f(f(r)),l?2.证f(r)?.记f(,r)?f(r)?rr????2明:存在正整数m,使得

?1?f(m)(r)为一个整数.这里,??1,?表示不小于实数x的最小整数,例如:x??1???1. ????2??3. (50分)给定整数n?2,设正实数a1,a2,Ak?,an满足ak?1,k?1,2,,n,记

a1?a2?k?ak,k?1,2,,n.

求证:

?ak??Ak?k?1k?1nnn?1. 2A1A2An的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处

4. (50分)一种密码锁的密码设置是在正n边形

涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?

解 答

1. 用反证法.若A,B,D,C不四点共圆,设三角形ABC的外接圆与AD交于点E,连接BE并延长交直线AN于点Q,连接CE并延长交直线AM于点P,连接PQ. 因为PK2A?P的幂(关于⊙O)?K的幂(关于⊙O)

??PO2?r2???KO2?r2?,

222O 同理

BEKDCQK??QO?r22???KO22?r2?,

MPQ所以

PO?PK?QO?QK2N故OK⊥PQ. 由题设,OK⊥MN,所以PQ∥MN,于是

AQAP?QNPM由梅内劳斯(Menelaus)定理,得

. ①

NBDEAQ???1, ② BDEAQNMCDEAP???1. ③ CDEAPM

8

由①,②,③可得

NBMCNDMD, 所以,故△DMN ∽ △DCB,于是?DMN??DCB,所以BC∥MN,??BDCDBDDCA,B,D,C四点共圆.

故OK⊥BC,即K为BC的中点,矛盾!从而

注1:“PK2?P的幂(关于⊙O)?K的幂(关于⊙O)”的证明:延长PK至点F,使得

PK?KF?AK?KE, ④

则P,E,F,A四点共圆,故

?PFE??PAE??BCE,

从而E,C,F,K四点共圆,于是

PK?PF?PE?PC, ⑤

⑤-④,得

PK2?PE?PC?AK?KE?P的幂(关于⊙O)?K的幂(关于⊙O).

注2:若点E在线段AD的延长线上,完全类似.

2. 记v2(n)表示正整数n所含的2的幂次.则当m下面我们对v2(k)当vAOFBEKDPCQNM?v2(k)?1时,f(m)(r)为整数.

?v用数学归纳法.

?0时,k为奇数,k?1为偶数,此时

1??1??1??f(r)??k???k????k???k?1?

2??2??2??为整数. 假设命题对v?1(v?1)成立.

对于v?1,设k的二进制表示具有形式

k?2v??v?1?2v?1??v?2?2v?2?这里,?i于是

?0或者1,i?v?1,v?2,.

9

1??1??1??f(r)??k???k????k??1? ?k?2??2??2??

这里

1k??k2?k 221??2v?1?(?v?1?1)?2v?(?v?1??v?2)?2v?1?21?k??, ①

2??22v?

k??2v?1?(?v?1?1)?2v?(?v?1??v?2)?2v?1?显然k?中所含的2的幂次为v?1.故由归纳假设知,r?一个整数,这就完成了归纳证明. 3. 由0??22v?.

?k??1(v?1)(r)是经过f的v次迭代得到整数,由①知,f2ak?1知,对1?k?n?1,有0??ai?k,i?1k0?i?k?1?ani?n?k.

注意到当x,y?0时,有x?y?max?x,y?,于是对1?k?n?1,有

1n?11?kAn?Ak?????ai??aini?k?1?nk?i?1

1n?11?k??ai?????aini?k?1?kn?i?1

?1n ?max??ai,?ni?k?1?1?max?(n?k),?n?1?n?11?k?????ai? ?kn?i?1??11?????k? ?kn??k, nnk故

?a??Akk?1k?1?nAn??Akk?1n

???Ak?1n?1n?1n?Ak???An?Akk?1n?1

?k?n?1???1???.

n?2k?1?4. 对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所在的边上标上a,如果颜色不同,则标

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2014年全国高中数学联赛试题及答案

由(1)知直线AB的方程为y?y0?3(x?2),即y0x?(2)代入y0(y?y0)?2.(2)3y2?6x得y2?2y0(y?y0)?12,即2y2?2y0y?2y0?12?0.(3)依题意,y1,y2是方程(3)的两个实根,且y1?y2,所以222??4y0?4
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