由（1）知直线
AB的方程为y?y0?3(x?2)，即 y0x?（2）代入
y0(y?y0)?2. （2） 3y2?6x得y2?2y0(y?y0)?12，即
2y2?2y0y?2y0?12?0. （3）
依题意，
y1,y2是方程（3）的两个实根，且y1?y2，所以
222??4y0?4(2y0?12)??4y0?48?0,
?23?y0?23.
y
AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2(1?(y02))(y1?y2)23
A ?B2y0 ?(1?)[(y1?y2)2?4y1y2]
92y022 ?(1?)(4y0?4(2y0?12))
9OC(5,0)x ?222(9?y0)(12?y0) . 3 定点C(5,0)到线段AB的距离
.
h2?CM?(5?2)2?(0?y0)2?9?y0 S?ABC?11222AB?h?(9?y0)(12?y0)?9?y023
?11222(9?y0)(24?2y0)(9?y0)
32
222?24?2y0?9?y0119?y0 ?()3323 ?147 . 3 6
当且仅当
229?y0?24?2y0，即
y0??5,
A(6?356?35,5?7),B(,5?7)33或
A(6?356?35,?(5?7)),B(,?5?7)时等号成立. 33所以，?ABC面积的最大值为
147. 3，则
11.令
f(x)?2x3?5x?2f?(x)?6x2?5?0，所以
f(x)是严格递增的.又
131f(0)??2?0,f()??0，故f(x)有唯一实数根r?(0,).
242所以 2r3?5r?2?0，
2r??r?r4?r7?r10?351?r故数列an.
?3n?2(n?1,2,?)是满足题设要求的数列.
?a2???an??和b1?b2???bn??满足
若存在两个不同的正整数数列a1ra1?ra2?ra3???rb1?rb2?rb3???去掉上面等式两边相同的项，有
2， 5rs1?rs2?rs3???rt1?rt2?rt3??，
这里s1?s2?s3??,t1?t2?t3??，所有的si与tj都是不同的.
不妨设s1?t1，则
1?rt1?s1rs1?rs1?rs2???rt1?rt2??，
11?rt2?s1???r?r2????1??1?1，
11?r1?2矛盾.故满足题设的数列是唯一的.
加 试
1. （40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．
BEKDCOA 7
MPQN
2. （40分）设k是给定的正整数，r?k?1(l?1)(l)(1)f(f(r)),l?2．证f(r)?．记f(，r)?f(r)?rr????2明：存在正整数m，使得
?1?f(m)(r)为一个整数．这里，??1，?表示不小于实数x的最小整数，例如：x??1???1． ????2??3. （50分）给定整数n?2，设正实数a1,a2,Ak?,an满足ak?1,k?1,2,,n，记
a1?a2?k?ak,k?1,2,,n．
求证：
?ak??Ak?k?1k?1nnn?1． 2A1A2An的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处
4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形
涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
解 答
1. 用反证法．若A，B，D，C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ． 因为PK2A?P的幂（关于⊙O）?K的幂（关于⊙O）
??PO2?r2???KO2?r2?，
222O 同理
BEKDCQK??QO?r22???KO22?r2?，
，
MPQ所以
PO?PK?QO?QK2N故OK⊥PQ． 由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是
AQAP?QNPM由梅内劳斯（Menelaus）定理，得
． ①
NBDEAQ???1， ② BDEAQNMCDEAP???1． ③ CDEAPM
8
由①，②，③可得
NBMCNDMD， 所以，故△DMN ∽ △DCB，于是?DMN??DCB，所以BC∥MN，??BDCDBDDCA,B,D,C四点共圆.
故OK⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而
注1：“PK2?P的幂（关于⊙O）?K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得
PK?KF?AK?KE， ④
则P，E，F，A四点共圆，故
?PFE??PAE??BCE，
从而E，C，F，K四点共圆，于是
PK?PF?PE?PC， ⑤
⑤-④，得
PK2?PE?PC?AK?KE?P的幂（关于⊙O）?K的幂（关于⊙O）．
注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似．
2. 记v2(n)表示正整数n所含的2的幂次．则当m下面我们对v2(k)当vAOFBEKDPCQNM?v2(k)?1时，f(m)(r)为整数．
?v用数学归纳法．
?0时，k为奇数，k?1为偶数，此时
1??1??1??f(r)??k???k????k???k?1?
2??2??2??为整数． 假设命题对v?1(v?1)成立．
对于v?1，设k的二进制表示具有形式
k?2v??v?1?2v?1??v?2?2v?2?这里，?i于是
，
?0或者1，i?v?1,v?2,．
9
1??1??1??f(r)??k???k????k??1? ?k?2??2??2??
这里
1k??k2?k 221??2v?1?(?v?1?1)?2v?(?v?1??v?2)?2v?1?21?k??， ①
2??22v?
k??2v?1?(?v?1?1)?2v?(?v?1??v?2)?2v?1?显然k?中所含的2的幂次为v?1．故由归纳假设知，r?一个整数，这就完成了归纳证明． 3. 由0??22v?.
?k??1(v?1)(r)是经过f的v次迭代得到整数，由①知，f2ak?1知，对1?k?n?1，有0??ai?k,i?1k0?i?k?1?ani?n?k．
注意到当x,y?0时，有x?y?max?x,y?，于是对1?k?n?1，有
1n?11?kAn?Ak?????ai??aini?k?1?nk?i?1
1n?11?k??ai?????aini?k?1?kn?i?1
?1n ?max??ai,?ni?k?1?1?max?(n?k),?n?1?n?11?k?????ai? ?kn?i?1??11?????k? ?kn??k， nnk故
?a??Akk?1k?1?nAn??Akk?1n
???Ak?1n?1n?1n?Ak???An?Akk?1n?1
?k?n?1???1???．
n?2k?1?4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a，如果颜色不同，则标
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2014年全国高中数学联赛试题及答案
