2014年全国高中数学联赛(B卷)
一 试
一、填空题（每小题8分，共64分，） 1.
函数
f(x)?x?5?24?3x的值域是 .
2. 已知函数双曲线xy?(acos2x?3)sinx的最小值为?3，则实数a的取值范围是 .
23.
?y2?1的右半支与直线x?100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个
数是 .
4.
已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1?3,b1?1,a2?b2,3a5?b3，且存在常
数?,?使得对每一个正整数n都有an?log?bn??，则???? . 5. 函数
f(x)?a2x?3ax?2(a?0,a?1) 在区间x?[?1,1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值
是 .
6.
两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获
胜概率是 .
7.
正三棱柱
ABC?A1B1C1的
9条棱长都相等，
P是CC1的中点，二面角B?A1P?B1??,则
sin?? .
8.
方程x?y?z?2010满足x?y?z的正整数解（x,y,z）的个数是 .
二、解答题（本题满分56分） 9. （16分）已知函数
f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)，当0?x?1时，f?(x)?1，试求a的最大值.
10.（20分）已知抛物线
y2?6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中x1?x2且x1?x2?4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求?ABC面积的最大值.
11.（20分）证明：方程2x3?5x?2?0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得
2?ra1?ra2?ra3??. 5
解 答
1. [?3,3] 提示：易知f(x)的定义域是?5,8?，且f(x)在?5,8?上是增函数，从而可知f(x)的值域为
[?3,3].
1
2. ?3?a?12 提示：令sinx?t，则原函数化为g(t)?(?at2?a?3)t，即 2g(t)??at3?(a?3)t.
由
?at3?(a?3)t??3，?at(t2?1)?3(t?1)?0，(t?1)(?at(t?1)?3)?0 及t?1?0 知
?at(t?1)?3?0 即
a(t2?t)??3. （1）
当t对0?0,?1时（1）总成立；
?t?1,0?t2?t?2；对?1?t?0,?13?t2?t?0.从而可知 ??a?12. 42y?k(k?1,2,?,99)与双曲线右半支于Ak,交直线
3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，设
x?100于Bk，则线段AkBk内部的整点的个数为99?k，从而在x轴上方区域内部整点的个数为
?(99?k)?99?49?4851.
k?199又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为2?4851?98?9800. 4. 33?3 提示 ：设{an}的公差为d,{bn}的公比为q，则
3?d?q, （1） 3(3?4d)?q2， （2）
（1）代入（2）得9?12d从而有3??d2?6d?9，求得d?6,q?9.
对一切正整数
6(n?1)?log?9n?1?? 对一切正整数n都成立，即6n?3?(n?1)log?9??n都成立.
从而
log?9?6,?3??log?9??，
求得 ??33,??3，????33?3.
5. ?当0312x 提示：令a?y,则原函数化为g(y)?y?3y?2,g(y)在(?,+?)上是递增的.
24?a?1时，y?[a,a?1],
g(y)max?a?2?3a?1?2?8?a?1?2?a?1， 2 2
所以
111g(y)min?()2?3??2??；
224当
a?1时，y?[a?1,a]，
g(y)max?a2?3a?2?8?a?2，
所以
g(y)min?2?2?3?2?1?2??综上
1. 4f(x)在x?[?1,1]上的最小值为?1. 46.
12217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为?，从而先投掷人的获胜概率为 173612757577112. ?()2??()4??????25171212121212121?144104 提示：解法一：如图，以
7. AB所在直线为x轴，线段AB中点O为原点，OC所在直线为y轴，建立空间
A1(?1,0,2),P(0,3,1)，从而，
直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则B(1,0,0),B1(1,0,2),BA1?(?2,0,2),BP?(?1,3,1),B1A1?(?2,0,0),B1P?(?1,3,?1).
设分别与平面
BA1P、平面
B1A1P垂直的向量是
zA1C1m?(x1,y1,z1)、n?(x2,y2,z2)，则
??m?BA1??2x1?2z1?0, ???m?BP??x1?3y1?z1?0,??n?B1A1??2x2?0, ???n?B1P??x2?3y2?z2?0,由此可设
B1PAOC，所以
ym?(1,0,1),n?(0,1,3)Bxm?n?m?cno?s，即
3?2?2cos??cos??10所以 sin??464A1. C1EB1OAP.
3
CB解法二：如图，PC?PC1,PA1?PB .
?OB,OA?OB1,A1B?AB1 .
设
A1B与AB1交于点O, 则OA1因为 PA?PB1,所以 PO?AB1,从而AB1?平面PA1B .
过O在平面PA1B上作OE连结
?A1P,垂足为E.
为二面角
B1E,则
?B1EOB?A1P?B1的平面角.设
AA1?2,则易求得
PB?PA1?5,A1O?B1O?2,PO?3.
在直角?PA1O中，
A1O?PO?A1P?OE,即 2?3?5?OE,?OE?645?5565.
又 B1O?2,?B1E?B1O2?OE2?2?.
sin??sin?B1EO?B1O210. ??B1E4545.
8. 336675 提示：首先易知x?2?2009?1004y?z?2010的正整数解的个数为 C2009把
x?y?z?2010满足x?y?z的正整数解分为三类：
（1）x,y,z均相等的正整数解的个数显然为1；
（2）x,y,z中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设x,y,z两两均不相等的正整数解为k. 易知
1?3?1003?6k?2009?1004，
所以
6k?2009?1004?3?1003?1
?2006?1005?2009?3?2?1?2006?1005?2004，
即
k?1003?335?334?335671.
从而满足x?y?z的正整数解的个数为
1?1003?335671?336675.
4
9. 解法一：
?f?(0)?c,?132f?(x)?3ax?2bx?c,由 ??f()?a?b?c, 得 ?4?2??f?(1)?3a?2b?c13a?2f?(0)?2f?(1)?4f?().
2 所以
13a?2f?(0)?2f?(1)?4f?()
2 ?12f?(0)?2f?(1)?4f?() ?8，
2所以a?8838. 又易知当f(x)?x?4x2?x?m（m为常数）满足题设条件，所以a最大值为. 333f?(x)?3ax2?2bx?c. 设g(x)?f?(x)?1，则当0?x?1时，0?g(x)?2.
解法二：设 z?2x?1，则x?z?1,?1?z?1. 2z?13a23a?2b3ah(z)?g()?z?z??b?c?1.
2424时，
容易知道当
?1?z?10?h(z)?2,0?h(?z)?2. 从而当
?1?z?1时，
0?h(z)?h(?z)?2 ， 即
20?3a23az??b?c?1?2， 443a3a8从而 ?b?c?1?0,z2?2，由 0?z2?1知a?.
443838又易知当f(x)?x?4x2?x?m（m为常数）满足题设条件，所以a最大值为.
3310. 解法一：设线段
AB的中点为M(x0,y0)，则 x0?x1?x2y?y2?2,y0?122 .
，
kAB?y2?y1y?y163?22??x2?x1y2?y1y0y2y12?66线段
AB的垂直平分线的方程是
y?y0??y0(x?2). （1） 3易知x?5,y?0是（1）的一个解，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C坐标为(5,0).
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2014年全国高中数学联赛试题及答案
